Un cuadrado ABCD tiene área 1. M es el punto medio de AD. Encuentra la región sombreada?

Answer 1

El área del cuadrado es 1, entonces el lado del cuadrado es 1

Digamos que el punto de intersección de la diagonal AC y la línea BM es O

[matemática] \ triangle AOM \ sim \ triangle BOC [/ math]

Las perpendiculares desde el punto O hasta AM y BC son proporcionales a la longitud de los lados AM y BC respectivamente.

[matemáticas] \ frac {P_ {AM}} {P_ {BC}} = \ frac {AM} {BC} = \ frac {1/2} {1} [/ matemáticas]

Además, [matemáticas] P_ {AM} + P_ {BC} = 1 [/ matemáticas] (lado del triángulo)

Por lo tanto, [matemáticas] P_ {AM} = 1/3 [/ matemáticas] y [matemáticas] P_ {BC} = 2/3 [/ matemáticas]

Área de la parte sin sombrear = Área [matemáticas] (\ triángulo [/ matemáticas] [matemáticas] AOM) + [/ matemáticas] Área [matemáticas] (\ triángulo BOC) + [/ matemáticas] Área [matemáticas] (\ triángulo BMD) [/matemáticas]

[matemáticas] = 1/2 * 1/2 * 1/3 + 1/2 * 1 * 2/3 + 1/2 * 1/2 * 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1/12 + 1/3 + 1/4 = 2/3 [/ matemáticas]

Área de la porción sombreada = Área del cuadrado – Área de la porción no sombreada

Área de la porción sombreada [matemática] = 1–2 / 3 = 1/3 [/ matemática]

Editar: Volver a unir la imagen original de la pregunta que fue quitada por el equipo de quora por alguna razón. Gracias Bernard y Luna por señalarlo.

Answer 2

Deje que AC y BM se crucen en E.

Todo lo que tiene que hacer es sumar las áreas de ABM y ACM y restar AME.

M es el punto medio, por lo que claramente ABM y ACM tienen un área de [matemáticas] \ frac {0.5 * 1} {2} [/ matemáticas] y, por lo tanto, tienen un área combinada de [matemáticas] 0.5 [/ matemáticas].

Luego reste el área del AME.

Esto se puede hacer analíticamente. La línea AC es diagonal de un cuadrado, por lo tanto tiene pendiente 1. La línea BM tiene pendiente -2 porque baja 1 y derecha 1/2.

Estas ecuaciones se pueden calcular como:

[matemáticas] y = x [/ matemáticas]

[matemáticas] y = -2x + 1 [/ matemáticas]

Resolver esto da [matemáticas] x = \ frac13 [/ matemáticas]. Esto significa que AME tiene un área de [matemáticas] \ frac {\ frac12 * \ frac13} {2} = \ frac {1} {12}. [/ Matemáticas]

Por lo tanto, la respuesta es [matemáticas] \ frac12- \ frac {1} {12} = \ boxed {\ frac {5} {12}} [/ math]

Answer 3

El trapezoide ABCM tiene área [matemáticas] \ dfrac {3} {4}. [/matemáticas]

Hay dos triángulos similares sin sombrear con alturas [matemática] h [/ matemática] y [matemática] 2h [/ matemática] donde [matemática] h = \ dfrac {1} {3}. [/matemáticas]

Esos dos triángulos tienen un área total [matemática] \ dfrac {5} {12}. [/ Matemática]

Entonces el área sombreada es [math] \ dfrac {3} {4} – \ dfrac {5} {12} = \ dfrac {1} {3}. [/ Math]