¿Se puede explicar intuitivamente la geometría proyectiva?

La geometría proyectiva es una geometría euclidiana ordinaria con “puntos en el infinito” adicionales que mejoran la vida. Así es como va la historia.

La geometría euclidiana vive en el espacio euclidiano, [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math]. Los puntos de este espacio son [matemática] n [/ matemática] -tuplas de números, [matemática] (x_1, \ ldots, x_n) [/ matemática]. Por lo general, [matemáticas] n [/ matemáticas] se toma como 2 o 3, de modo que un punto en el espacio se describe mediante un par [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas] o un triple [matemáticas] (x, y , z) [/ math], respectivamente.

Para obtener geometría proyectiva, necesitamos construir un nuevo lugar para vivir, al que llamaremos [math] \ mathbb {P} ^ n [/ math], [math] n [/ math] -dimensional espacio proyectivo . Debe tener el viejo espacio euclidiano [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] dentro de él, pero también esos nuevos puntos en el infinito aludidos anteriormente. La forma en que haremos esto es haciendo que las fracciones sean los puntos del nuevo espacio.

Comencemos por pensar en lo que sucede cuando pensamos en puntos euclidianos en términos de fracciones. Para concreción, establezca [matemática] n = 2 [/ matemática]. Un punto en el antiguo espacio euclidiano [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] se describe con un par de números [math] (x, y) [/ math]. Definitivamente podemos escribir esto como un par de fracciones, por ejemplo [matemáticas] (\ frac {x} {1}, \ frac {y} {1}) [/ matemáticas].

Por el contrario, cualquiera de los dos numeradores [matemática] x, y [/ matemática] y denominador común distinto de cero [matemática] z [/ matemática] nos da un punto de [matemática] \ mathbb {R} ^ 2 [/ matemática], a saber [matemática ] (\ frac {x} {z}, \ frac {y} {z}) [/ math]. Esta descripción es un poco redundante: algunos triples de [matemática] x [/ matemática] s, [matemática] y [/ matemática] s, y [matemática] z [/ matemática] s dan los mismos números. Por ejemplo, [math] (\ frac {x} {z}, \ frac {y} {z}) = (\ frac {2x} {2z}, \ frac {2y} {2z}) [/ math]. Entonces, si vamos a describir puntos de [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] por triples [math] (x, y, z) [/ math], tendremos que considerar [ math] (x, y, z) [/ math] y [math] (cx, cy, cz) [/ math] como lo mismo para cualquier [math] c [/ math] que no sea cero. (Porque [matemática] (\ frac {x} {z}, \ frac {y} {z}) = (\ frac {cx} {cz}, \ frac {cy} {cz}). [/ Math]). Para resaltar cuando estamos haciendo esta identificación, usamos la notación [math] [x: y: z] [/ math]. Entonces, por ejemplo, [matemáticas] (1, 2, 3) \ neq (2, 4, 6) [/ matemáticas] pero [matemáticas] [1: 2: 3] = [2: 4: 6] [/ matemáticas ]

Entonces, a riesgo de repetirme, hemos vuelto a describir [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] como el conjunto de triples [math] [x: y: z] [/ math] donde [ matemáticas] z \ neq 0 [/ matemáticas]. La forma de pasar de la descripción anterior a la nueva es tomar [math] (x, y) \ mapsto [x: y: 1] [/ math], y la forma de pasar de la nueva descripción a la antigua es tomar [math] [x: y: z] \ mapsto (\ frac {x} {z}, \ frac {y} {z}) [/ math].

¿Cómo vamos a obtener nuevos puntos “infinitos”? Al dividir por cero, por supuesto! En la nueva descripción, todo lo que tenemos que hacer es permitir [math] z = 0 [/ math]. Definimos el plano proyectivo por

[math] \ mathbb {P} ^ 2 = \ {[x: y: z] \ mid x, y, z \ in \ mathbb {R} \ text {de modo que no todos} x, y, z \ text {son cero.} \} [/ math]

(La omisión de [math] [0: 0: 0] [/ math] es algo técnica. Simplemente no juega bien).

Similar,

[matemática] \ mathbb {P} ^ n = \ {[x_1: x_2: \ cdots: x_ {n + 1}] \ mid \ text {each} x_i \ in \ R \ text {y no todos} x_i \ text {son cero.} \} [/ math].

En conjunto, la geometría proyectiva es la antigua geometría euclidiana con nuevos puntos en el infinito, que se obtiene al permitirse dividir por cero.