En un triángulo [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = ac + ab \ sqrt {3} [/ matemáticas] , ¿qué es el triángulo?
¡Qué gran pregunta! Me divertí respondiendo, y me gustaría compartir mi proceso de pensamiento contigo …
Lo primero que noté es que si algún triángulo resuelve esta ecuación, todos los triángulos similares la resolverán, porque cada término tiene dos lados como factores. Es decir, cada término tiene el producto de dos lados o un lado al cuadrado. Eso significa que cualquier valor de [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas] resuelve esta ecuación, [matemáticas] ka [/ matemáticas], [matemáticas] kb [ / math] y [math] kc [/ math] también lo resolverán, con [math] k ^ 2 [/ math] en cada término. Creo que esta es una gran noticia, porque significa que puedo dejar que [matemáticas] a [/ matemáticas] sea igual a [matemáticas] 1 [/ matemáticas], y resolver [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [ / matemáticas]: dos variables son más fáciles que tres, ¿verdad? Esto me dará una solución, luego usaré un factor de escala para obtener el resto de triángulos similares.
Así que comencé resolviendo [matemáticas] 1 + b ^ 2 + c ^ 2 = b \ sqrt {3} + c. ~~ [/ matemáticas] Después de perder el tiempo más de lo que me gustaría admitir, me di cuenta de que esto se parece a ecuación de un círculo (pero en los ejes [matemática] “b” [/ matemática] y [matemática] “c” [/ matemática]), que puedo resolver completando los cuadrados.
- ¿Por qué un ángulo de incidencia es grande y un ángulo de refracción pequeño?
- ¿Cuál es la razón del área del círculo a esta forma?
- ¿Cómo hace el trabajo la geometría de coordenadas?
- ¿Cómo interpretaría la expectativa de una variable aleatoria geométrica?
- ¿Cuál será el radio de curvatura en el punto inicial y más alto si el camino es una parábola?
[matemáticas] \ begin {align} \ quad 0 & = b ^ 2-b \ sqrt {3} + \ dfrac {3} {4} \ quad + \ quad c ^ 2-c + \ dfrac {1} {4} \\ ~ \\ & = \ left (b- \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \ right) ^ 2 \ quad + \ quad \ left (c- \ dfrac {1} {2} \ right) ^ 2 \\ ~ \ end {align} [/ math]
¡Que suerte! El radio de este “círculo” es cero (lo sé, la suerte no tiene nada que ver con eso; ¡quien haya creado el problema se aseguró de que resultaría de esta manera!) Entonces [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] b = \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ math], y [math] c = \ dfrac {1} {2} [/ math] es una solución, y volver a poner el factor de escala, el general la solución es
[matemáticas] \ quad \ boxed {a> 0, ~~ b = \ dfrac {a \ sqrt {3}} {2}, \ text {y} c = \ dfrac {a} {2}} [/ math] .
[matemáticas] \ quad \ triangle \ rm ABC [/ matemáticas] es un [matemáticas] 90 ^ \ circ, 60 ^ \ circ, 30 ^ \ circ [/ matemáticas] triángulo!
[matemáticas] ~ [/ matemáticas]
… luego, después de ver toda la solución, y pensar en ello por un tiempo, me di cuenta de que no es realmente más fácil dejar que [math] a = 1 [/ math] al principio, y además, es un poco ondulado continúa sobre triángulos y factores de escala similares. Así que aquí está la solución realmente ingeniosa que podría haber presentado al principio si hubiera sido mucho más inteligente …
[math] ~ \\\ large {\ bf {\ text {La solución Razzle Dazzle}}} [/ math]
¿Qué tipo de triángulo tiene lados dados por [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = ac + ab \ sqrt {3}? [/ Matemáticas]
Comience poniendo todos los términos en un lado de la ecuación:
[matemáticas] \ quad b ^ 2-ab \ sqrt {3} + c ^ 2-ac + a ^ 2 = 0 [/ matemáticas]
Ahora, completa los cuadrados, así:
[matemáticas] \ quad b ^ 2-ab \ sqrt {3} + \ dfrac {3a ^ 2} {4} \ quad + \ quad c ^ 2-ac + \ dfrac {a ^ 2} {4} ~ = ~ 0 [ /matemáticas]
[matemáticas] \ quad \ left (b- \ dfrac {a \ sqrt {3}} {2} \ right) ^ 2 \ quad + \ quad \ left (c- \ dfrac {a} {2} \ right) ^ 2 ~ = ~ 0, [/ matemáticas]
dándonos la solución
[matemáticas] \ quad \ boxed {a> 0, ~~ b = \ dfrac {a \ sqrt {3}} {2}, \ text {y} c = \ dfrac {a} {2}}, ~~ [ / matemáticas] y así
[math] \ quad \ triangle \ rm ABC [/ math] es un triángulo [math] 90 ^ \ circ, 60 ^ \ circ, 30 ^ \ circ [/ math].
Es una solución tan hermosa, aunque me llevó mucho tiempo pensar en ello. O tal vez creo que es tan hermoso solo porque me tomó mucho tiempo encontrarlo.
[matemáticas] ~ \\\ large {\ bf {\ text {¿Cómo pensaron alguna vez en eso?}}} [/ matemáticas]
Quería mostrarte mi proceso de pensamiento, en lugar de mostrarte la solución elegante, porque sé que hay algunas personas a las que no les gustan las matemáticas. Impactante, ¿no es así? Estas personas ven las matemáticas como una lista interminable de fórmulas que necesitan ser memorizadas, y luego una vez memorizadas, la gran cantidad de fórmulas funciona en contra de estos estudiantes, porque no les queda claro cuándo aplicar qué fórmula.
Si hubiera comenzado con mi solución Razzle Dazzle, estoy seguro de que aquellos mejor versados en matemáticas que yo dirían, “qué obvio”. Pero si eres más nuevo en el juego que yo, podrías mirarlo y preguntarte cómo pensé en él. Y sería correcto preguntarse, porque no es una aplicación obvia de completar el cuadrado, al menos para un principiante. Es por eso que te llevé a recorrer mi pensamiento sobre este problema. ¡Espero que lo hayas disfrutado la mitad que yo!