Si un vértice de un triángulo de área máxima se puede inscribir en una curva [matemáticas] | z-2i | = 2 [/ math] es [math] 2 + 2i [/ math], ¿cuáles son los vértices restantes?

[matemática] | z-2i | = 2 [/ matemática] es un círculo con radio de 2 unidades y centro en [matemática] 2i [/ matemática]. Cualquier punto [math] z [/ math] en el círculo dado puede ser representado por [math] z = 2e ^ {i \ theta} + 2i [/ math], donde [math] \ theta [/ math] es el ángulo formado por la línea que une [matemáticas] z [/ matemáticas] con el centro (el radio) y el eje real.

El triángulo de área máxima que se puede inscribir en un círculo es un triángulo equilátero concéntrico. Si los vértices de dicho triángulo se unen con el centro, las líneas serían [matemáticas] \ frac {2 \ pi} {3} [/ matemáticas] radianes (120 °) separados.

Para un vértice, [matemática] 2 + 2i [/ matemática], [matemática] \ theta [/ matemática] es cero. Entonces, para otros dos vértices [matemática] \ theta [/ matemática] será [matemática] \ frac {2 \ pi} {3} [/ matemática] y [matemática] – \ frac {2 \ pi} {3} [/ matemáticas] respectivamente. Por lo tanto, los puntos respectivos son [matemáticas] 2e ^ {- i \ frac {2 \ pi} {3}} + 2i = -1 + (2- \ sqrt3) i [/ matemáticas] y [matemáticas] 2e ^ {i \ frac {2 \ pi} {3}} + 2i = -1 + (2+ \ sqrt3) i [/ math]

Algunos cálculos aproximados que hice podrían ayudar a entender esto:

La curva dada es un círculo centrado en 0 + 2i con radio igual a 2.

El triángulo con área máxima que puede inscribirse en un triángulo es un triángulo equilátero.

Ahora cada lado del triángulo es un acorde del círculo. Dibuja el radio a todos los vértices. Dibuja una perpendicular a cualquier acorde. Esto divide el acorde y crea dos triángulos. El ángulo de un vértice de un triángulo equilátero es de 60 grados, que está dividido en dos por el radio.

Cos 30 = √3 / 2, el lado adyacente es igual a 1. Por lo tanto, todos los lados del triángulo son iguales a 2√3. Ahora tenemos dos ecuaciones para dos coordenadas (fórmula de distancia). Resuelve y obtén la respuesta. Las ecuaciones son:

x ^ 2 + (y-2) ^ 2 = 4, que es la ecuación circular,

(x-2) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = 12

Al resolver estas ecuaciones, obtenemos -1+ (2 + √3) i y -1+ (2-√3i).