Traduciendo un poco la pregunta: ¿es posible cortar un círculo dado en cuatro regiones planas de áreas cuadradas iguales con tres líneas rectas, ninguna de las cuales es paralela a las dos restantes?
La respuesta es sí. Deje que [math] \ sigma [/ math] sea un círculo unitario con el centro en [math] O [/ math]. Si no se proporciona el centro del círculo, siempre se puede recuperar a través de la Proposición 1. del Libro de Elementos de Euclides 1. Deje que [math] AB [/ math] sea el diámetro de [math] \ sigma [/ math] y deje [math ] AC [/ math] será el acorde de [math] \ sigma [/ math]. Entonces:
[matemáticas] \ angle BAC = \ theta \ tag {1} [/ matemáticas]
y por los Elementos de Euclides Libro 3, Proposición 20:
- ¿Podría Alon Amit explicar el teorema isoperimétrico (y probar) o mostrar que un círculo es la forma que maximiza su relación área / perímetro?
- ¿Por qué el ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión se toman entre los rayos y lo normal y no entre los rayos y la superficie?
- Si un vértice de un triángulo de área máxima se puede inscribir en una curva [matemáticas] | z-2i | = 2 [/ math] es [math] 2 + 2i [/ math], ¿cuáles son los vértices restantes?
- ¿Se puede explicar intuitivamente la geometría proyectiva?
- Cómo encontrar el lugar geométrico del punto de intersección de dos líneas variables
[matemáticas] \ angle BOC = 2 \ angle BAC = 2 \ theta \ tag {2} [/ math]
Requerimos que:
[matemáticas] a_1 + a_2 = a_3 \ etiqueta {3} [/ matemáticas]
Suponiendo que los ángulos se miden en radianes:
[matemáticas] a_1 = \ dfrac {1} {2} 2 \ cdot \ theta \ cdot 1 ^ 2 = \ theta \ tag {4} [/ matemáticas]
[matemáticas] a_2 = \ dfrac {1} {2} 1 ^ 2 \ sin (\ pi – 2 \ theta) = \ sin \ theta \ cdot \ cos \ theta \ tag {5} [/ matemáticas]
[matemáticas] a_3 = a (\ text {sector} \; OAC) – a_2 = \ tag * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {\ angle OAC} {2} – \ sin \ theta \ cdot \ cos \ theta = \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] \ dfrac {\ pi – \ angle BOC} {2} – \ sin \ theta \ cdot \ cos \ theta = \ tag * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {\ pi} {2} – \ theta – \ sin \ theta \ cdot \ cos \ theta \ tag {6} [/ matemáticas]
Ponga ( 4 ), ( 5 ) y ( 6 ) nuevamente en ( 3 ):
[matemáticas] \ dfrac {\ pi} {4} = \ theta + \ dfrac {1} {2} \ sin 2 \ theta \ tag {7} [/ matemáticas]
La ecuación ( 7 ) es trascendental *, según WolphramAlpha (suponiendo que [math] \ theta> 0 [/ math]):
[matemáticas] \ theta \ aproximadamente 0.415856 \; \ text {rad} \ aprox 23.826794 ^ {\ circ} \ tag * {} [/ math]
En consecuencia, las tres líneas rectas que satisfacen las condiciones del enunciado del problema son:
- [matemáticas] AB [/ matemáticas]
- [matemáticas] AC [/ matemáticas]
- [matemáticas] AD [/ matemáticas] (por simetría)
* La función en el lado derecho del signo igual en ( 7 ), [math] \ theta + \ dfrac {1} {2} \ sin 2 \ theta [/ math], es continua porque es una combinación lineal de dos funciones continuas: en el intervalo [math] \ Big [0, \ dfrac {\ pi} {2} \ Big] [/ math] ambas funciones [math] f (x) = x [/ math] y [math] g (x) = \ sin (2x) [/ math] son continuos (para evitar el desorden, omito la prueba transparente: el límite de una suma / producto es la suma / producto de los límites siempre que los límites existan, lo cual hacen ) Por lo tanto, según el teorema del valor intermedio existe al menos una magnitud de [math] \ theta [/ math] de modo que nuestra función adquiere un valor que nos interesa: la mitad del área cuadrada de un semicírculo o [math] \ dfrac {\ pi} {4} [/ math] – que es lo que ( 7 ) esencialmente captura: