¿Puedes cortar un círculo en cuatro secciones iguales usando tres líneas que no son paralelas? ¿Cómo lograrías esto?

Traduciendo un poco la pregunta: ¿es posible cortar un círculo dado en cuatro regiones planas de áreas cuadradas iguales con tres líneas rectas, ninguna de las cuales es paralela a las dos restantes?

La respuesta es sí. Deje que [math] \ sigma [/ math] sea un círculo unitario con el centro en [math] O [/ math]. Si no se proporciona el centro del círculo, siempre se puede recuperar a través de la Proposición 1. del Libro de Elementos de Euclides 1. Deje que [math] AB [/ math] sea el diámetro de [math] \ sigma [/ math] y deje [math ] AC [/ math] será el acorde de [math] \ sigma [/ math]. Entonces:

[matemáticas] \ angle BAC = \ theta \ tag {1} [/ matemáticas]

y por los Elementos de Euclides Libro 3, Proposición 20:

[matemáticas] \ angle BOC = 2 \ angle BAC = 2 \ theta \ tag {2} [/ math]

Requerimos que:

[matemáticas] a_1 + a_2 = a_3 \ etiqueta {3} [/ matemáticas]

Suponiendo que los ángulos se miden en radianes:

[matemáticas] a_1 = \ dfrac {1} {2} 2 \ cdot \ theta \ cdot 1 ^ 2 = \ theta \ tag {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] a_2 = \ dfrac {1} {2} 1 ^ 2 \ sin (\ pi – 2 \ theta) = \ sin \ theta \ cdot \ cos \ theta \ tag {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] a_3 = a (\ text {sector} \; OAC) – a_2 = \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {\ angle OAC} {2} – \ sin \ theta \ cdot \ cos \ theta = \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {\ pi – \ angle BOC} {2} – \ sin \ theta \ cdot \ cos \ theta = \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {\ pi} {2} – \ theta – \ sin \ theta \ cdot \ cos \ theta \ tag {6} [/ matemáticas]

Ponga ( 4 ), ( 5 ) y ( 6 ) nuevamente en ( 3 ):

[matemáticas] \ dfrac {\ pi} {4} = \ theta + \ dfrac {1} {2} \ sin 2 \ theta \ tag {7} [/ matemáticas]

La ecuación ( 7 ) es trascendental *, según WolphramAlpha (suponiendo que [math] \ theta> 0 [/ math]):

[matemáticas] \ theta \ aproximadamente 0.415856 \; \ text {rad} \ aprox 23.826794 ^ {\ circ} \ tag * {} [/ math]

En consecuencia, las tres líneas rectas que satisfacen las condiciones del enunciado del problema son:

  • [matemáticas] AB [/ matemáticas]
  • [matemáticas] AC [/ matemáticas]
  • [matemáticas] AD [/ matemáticas] (por simetría)

* La función en el lado derecho del signo igual en ( 7 ), [math] \ theta + \ dfrac {1} {2} \ sin 2 \ theta [/ math], es continua porque es una combinación lineal de dos funciones continuas: en el intervalo [math] \ Big [0, \ dfrac {\ pi} {2} \ Big] [/ math] ambas funciones [math] f (x) = x [/ math] y [math] g (x) = \ sin (2x) [/ math] son ​​continuos (para evitar el desorden, omito la prueba transparente: el límite de una suma / producto es la suma / producto de los límites siempre que los límites existan, lo cual hacen ) Por lo tanto, según el teorema del valor intermedio existe al menos una magnitud de [math] \ theta [/ math] de modo que nuestra función adquiere un valor que nos interesa: la mitad del área cuadrada de un semicírculo o [math] \ dfrac {\ pi} {4} [/ math] – que es lo que ( 7 ) esencialmente captura:

Este es uno de los que piensan fuera de la caja, o en este caso, piensan fuera del círculo. Mientras no haya reglas en contra de hacerlo, simplemente puede dibujar tres líneas donde solo dos de ellas crucen el círculo perpendicularmente entre sí. El círculo tendría una cruz que lo cortaría en cuatro partes, pero las líneas ni siquiera tendrían que comenzar o detenerse en el círculo. Si hubiera una estipulación de que debían comenzar y detenerse en el círculo, entonces solo lo harían en dos lugares. Los puntos de inicio y parada formarían un ángulo de 90 ° entre sí en relación con el centro del círculo. Mirando solo las líneas, serían un signo más con dos de los extremos conectados.

Inscribiría un cuadrado dentro del círculo. Puede quitar uno de los lados y tener sus 3 líneas, pero dos de ellas son paralelas. Simplemente cambie estos lados por las diagonales del cuadrado. Por supuesto, entonces el cuarto lado del cuadrado no es necesario.

Seguro. Primero dibujaría dos líneas perpendiculares que se encuentran en el punto central del círculo, dividiendo así el círculo en cuatro secciones iguales. Luego dibujaría una tercera línea que intersecta las dos primeras líneas, pero que no tiene ningún punto dentro del círculo, es decir, se encuentra totalmente fuera del círculo.