Deje que la cónica sea [math] ax ^ 2 + bxy + cy ^ 2 + dx + ey + f = 0 [/ math]. Primero, pongamos de acuerdo sobre lo que significa degenerar. Decimos que la cónica se degenera precisamente cuando se factoriza como dos factores lineales (posiblemente complejos).
Primera solución: manipular ecuaciones cuadráticas para validar la afirmación: una forma más tediosa de lograr el mismo resultado es ver la ecuación como cuadrática en, digamos, y:
[matemática] cy ^ 2 + (bx + e) y + (ax ^ 2 + dx + f) = 0 [/ matemática]
Factoriza si su discriminante [matemática] (bx + e) ^ 2-4c (ax ^ 2 + dx + f) [/ matemática] es un cuadrado perfecto. Pero el discriminante es en sí mismo un cuadrático en x:
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[matemáticas] (b ^ 2-4ac) x ^ 2 + (2be-4cd) x + (e ^ 2-4cf) [/ matemáticas]
Y esto será un cuadrado si su discriminante es cero.
Escribiéndolo o simplemente comparando coeficientes, vemos que este discriminante es igual a -16 veces el buen determinante que mencionó en su pregunta, entonces uno es cero si y solo si el otro lo es.
Segunda solución: usar matrices para obtener intuición sobre lo que está sucediendo: una forma de probar su afirmación es notar que su expresión es invariante hasta rotaciones y traducciones y luego reducir el problema al caso más fácil [matemáticas] a’x ‘^ 2 + c’y’2 + f ‘= 0 [/ matemática] donde [matemática] b = d = e = 0 [/ matemática].
Reescribe la ecuación anterior en notación matricial como [math] u × M × u ‘= 0 [/ math], donde [math] \ left [\ begin {array} {cc} x & y & z \ end {array} \ derecha] [/ math] y [math] M [/ math] es exactamente la matriz que describiste. Ahora, rotar significa sustituir [matemática] u = v × R [/ matemática] donde [matemática] R = \ left [\ begin {array} {cc} cos (t) & -sin (t) & 0 \\ sin ( t) & cos (t) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] [/ math] tiene discriminante 1 y su inverso es el mismo que su transposición [math] R ‘[/ math].
Su ecuación se convierte en [matemática] v × R × M × R ‘× v’ = 0 [/ matemática], con [matemática] M * = RMR ‘[/ matemática] como su nueva matriz de referencia. Como [matemática] detM * = det (R) × det (M) × det (R ‘) = detM [/ matemática], el determinante de su matriz de referencia es invariable hasta las rotaciones. Similar para traducciones.
Ahora, después de rotar y traducir correctamente, puede escribir su nueva ecuación como [math] a’x ‘^ 2 + c’y’2 + f’ = 0 [/ math] y esta expresión se factoriza en términos lineales complejos iff a ‘ , c ‘o f’ es igual a cero, es decir, si [math] a’c’f ‘= 0 [/ math]
Como a’c’f ‘es el determinante de esta ecuación simplificada y su determinante es invariante hasta rotaciones / traslaciones, esto significa que es cero si la cónica es degenerada.