¿Hay exactamente dos tangentes desde el punto exterior de un círculo dado?

Answer 1

Respuesta corta: sí.

Para probar esto (además de construir las dos tangentes) podemos proceder de la siguiente manera. Deje que [math] P [/ math] sea el punto exterior y [math] O [/ math] sea el centro del círculo, al que llamaré [math] C_1 [/ math]. Dibuje otro círculo [matemática] C_2 [/ matemática] que tenga [matemática] OP [/ matemática] como su diámetro. Suponga que [matemática] X [/ matemática] es un punto en [matemática] C_1 [/ matemática] tal que [matemática] XP [/ matemática] es una línea tangente a ella. Entonces [math] \ angle OXP = 90 ^ {\ circ} [/ math]. Por lo tanto, según un teorema de los Elementos de Euclides, el punto [matemáticas] X [/ matemáticas] está en el círculo [matemáticas] C_2. [/ Matemáticas] Por lo tanto, cualquier punto tangente debe estar en la intersección de [matemáticas] C_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] C_2 [/ matemáticas]. Estos dos círculos siempre tienen dos puntos de intersección, porque el punto [matemático] O [/ matemático] está dentro de [matemático] C_1 [/ matemático] mientras que [matemático] P [/ matemático] está fuera de él.

Answer 2

Si.

Un vehículo que puedes usar para convencerte de ese hecho es el movimiento rígido , un concepto con el que Euclides jugó en sus Elementos pero, desafortunadamente, abandonó en favor de las representaciones estáticas.

Le animamos a leer su construcción de una tangente a un círculo fijo dado a través de un punto fijo dado (Libro 3, Proposición 17), mientras resaltaré su equivalente más moderno:

Sea [math] P [/ math] el punto fijo dado ubicado fuera del círculo fijo dado [math] \ sigma [/ math] con el centro en [math] O [/ math] y un radio conocido [math] r [/matemáticas]. Construya una línea recta [matemática] l [/ matemática] a través de [matemática] P [/ matemática] y [matemática] O [/ matemática] para ubicar el punto de intersección [matemática] T [/ matemática] de [matemática] l [ / math] y la circunferencia de [math] \ sigma [/ math].

Olvídate de todos los objetos excepto [matemática] T [/ matemática] y [matemática] l [/ matemática]: en una jerarquía de pruebas se permite, en esta etapa, construir una línea recta [matemática] \ tau [/ matemática ] perpendicular a [matemática] l [/ matemática] a [matemática] T [/ matemática] en [matemática] l [/ matemática] – Euclides lleva a cabo esta tarea en el Libro 1, Proposición 11. Como efecto secundario, [matemática] \ tau [/ math] es una tangente a [math] \ sigma [/ math] en [math] T [/ math]:

Divida [math] \ tau [/ math] en dos mitades lógicas sobre [math] T [/ math]: izquierda, [math] h_l [/ math] y right, [math] h_r [/ math].

Soldar [matemática] T [/ matemática] a [matemática] l [/ matemática], soldar [matemática] \ tau [/ matemática] a [matemática] T [/ matemática], permitir que [matemática] T [/ matemática] se deslice a lo largo de la circunferencia de [math] \ sigma [/ math]. Desabroche nuestro artilugio de 3 piezas del avión, tome [matemática] l [/ matemática] arriba [matemática] P [/ matemática] y gire [matemática] l [/ matemática] aproximadamente [matemática] O [/ matemática] en sentido antihorario una vez. El movimiento de nuestro trío dinámico es:

• rígido y
• continuo

Lo que significa que:

• las líneas rectas [matemáticas] l [/ matemáticas] y [matemáticas] \ tau [/ matemáticas] seguirán siendo las líneas rectas (en ángulo recto)
• [matemáticas] l [/ matemáticas] barrerá (o visitará) todos los puntos en el avión
• y también lo hará [math] \ tau [/ math] – salvo los puntos dentro de [math] \ sigma [/ math]

Por los argumentos anteriores, eventualmente, el primero en besarse (o barrer, o visitar) [matemáticas] P [/ matemáticas] será [matemáticas] h_r [/ matemáticas], en cuyo caso [matemáticas] \ tau [/ matemáticas] representará la primera tangente a [math] \ sigma [/ math] a [math] P [/ math], mientras que [math] T [/ math] se redondea a lo largo de la circunferencia de [math] \ sigma [/ matemática], el segundo en besarse [matemática] P [/ matemática] será [matemática] h_l [/ matemática], representando la segunda tangente.

Dado que, en sus viajes, [matemática] \ tau [/ matemática] visitará [matemática] P [/ matemática] exactamente dos veces, hay exactamente dos tangentes a un círculo fijo dado a través de un punto fijo exterior al círculo.

Answer 3

Cualquier punto en la circunferencia de un círculo, y de hecho, cualquier punto en cualquier función suave y continua (diferenciable) en dos dimensiones, tiene exactamente una tangente. Eso está implícito en la definición de diferenciación, por la cual encontramos las tangentes a las funciones. La única forma para que una función tenga dos tangentes en un punto dado p es si:

• hay una discontinuidad, de modo que [matemática] \ lim _ {- x \ a p} f (x) [/ matemática] y [matemática] \ lim _ {+ x \ a p} f (x) [/ matemática] tienen diferentes valores.
• hay una infección aguda, tal que [matemáticas] \ lim _ {- x \ to p} f ‘(x) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ lim _ {+ x \ a p} f’ (x) [/ matemáticas ] tienen valores diferentes.

Answer 4

Para reformular esto de manera equivalente, declaro:

“Dos tangentes arbitrarias de un mismo círculo se cruzan, si no son paralelas. Las tangentes son líneas rectas, obedecen las mismas reglas. El punto de intersección de las dos tangentes está fuera del círculo. Ninguna otra dos tangentes de ese mismo círculo tienen ese punto como punto de intersección “.

Esta afirmación parece ser una suposición razonable, respondiendo positivamente a la pregunta inicial.

Answer 5

Desde un punto exterior, solo puede haber dos tangentes dibujadas.