Para verificar qué objeto tiene un área de superficie mayor, necesitamos calcular el área de superficie de cada objeto que tiene un volumen de 1 unidad cúbica cada uno, es decir, el área de superficie por unidad de volumen.
Cilindro: [math] \ qquad [/ math] Volumen = 1 unidad cúbica
[matemáticas] \ implica [/ matemáticas] Volumen = [matemáticas] \ pi \, r ^ 2 \, h \, = \, 1 \ qquad \ implica \ qquad h \, = \, \ frac {1} {\ pi \, r ^ 2} [/ matemáticas]
[matemática] \ implica \ qquad [/ matemática] Área de superficie = [matemática] 2 \, \ pi \, r \, h \, + \, 2 \, \ pi \, r ^ 2 \, = \, \ frac {2 \, \ pi \, r} {\ pi \, r ^ 2} \, + \, 2 \, \ pi \, r ^ 2 \, = \, \ frac {2} {r} \, + \, 2 \, \ pi \, r ^ 2 [/ matemáticas]
- ¿Qué es una línea ascendente y una línea descendente en la tipografía?
- Una mesa circular está en la esquina. Se hace una marca en el borde de la mesa, a 18 pulgadas de una pared y 25 de la otra. ¿Cuál es el radio de la mesa?
- ¿Cuáles son las relaciones de dirección del eje x?
- ¿Cuál es el ángulo balístico óptimo para el rango más largo?
- Cómo construir un triángulo si se da la diferencia entre dos de sus lados y se da un ángulo
Prisma octogonal: [matemáticas] \ qquad [/ matemáticas] Volumen = 1 unidad cúbica
[matemáticas] \ implica [/ matemáticas] Volumen = [matemáticas] 2 \, \ left (1 \, + \, \ sqrt {2} \ right) \, a ^ 2 \, h \, = \, 1 \ qquad \ implica \ qquad h \, = \, \ frac {1} {2 \, \ left (1 \, + \, \ sqrt {2} \ right) \, a ^ 2} [/ math]
[matemática] \ implica [/ matemática] Área de superficie = [matemática] 8 \, a \, h \, + \, 4 \, \ left (1 \, + \, 2 \, \ sqrt {2} \ right) \, a ^ 2 \, = \, \ frac {8 \, a} {2 \, \ left (1 \, + \, \ sqrt {2} \ right) \, a ^ 2} \, + \, 4 \, \ left (1 \, + \, \ sqrt {2} \ right) \, a ^ 2 \, = \, \ frac {4} {\ left (1 \, + \, \ sqrt {2} \ right) \, a} \, + \, 4 \, \ left (1 \, + \, \ sqrt {2} \ right) \, a ^ 2 [/ math]
Cuboide: [math] \ qquad [/ math] Volumen = 1 unidad cúbica [math] \ qquad [/ math] Lados a, byc unidades
[matemática] \ implica [/ matemática] Volumen = [matemática] abc = 1 \ qquad \ implica \ qquad c = \ frac {1} {ab} [/ matemática]
[matemáticas] \ implica [/ matemáticas] Área de superficie = 2 (ab + bc + ca) = [matemáticas] 2 \, \ left (ab \, + \, \ frac {b} {ab} \, + \, \ frac {a} {ab} \ right) \, = \, 2 \, \ left (ab \, + \, \ frac {1} {a} \, + \, \ frac {1} {b} \ right )[/matemáticas]
De lo anterior, se puede ver que la superficie por unidad de volumen de los tres objetos se puede hacer tan grande como queramos seleccionando un radio adecuado (o, alternativamente, altura) para el cilindro, el lado de la base (o , alternativamente, altura) para el prisma octogonal y uno de los lados para el cuboide.