Las relaciones de dirección proporcionan una forma conveniente de especificar la dirección de una línea en un espacio tridimensional. Los cosenos de dirección son los cosenos de los ángulos entre una línea y los ejes de coordenadas.
Cuando una línea dirigida OP que pasa a través del origen forma ángulos α, β y γ con los ejes x, y y z respectivamente con O como referencia, estos ángulos se denominan ángulos de dirección de la línea y el coseno de estos ángulos nos da La dirección cosenos. Estos cosenos de dirección generalmente se representan como l, myn.
Si extendemos la línea OP en el sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales, entonces para calcular los cosenos de dirección, necesitamos tomar el suplemento de los ángulos de dirección. Es bastante obvio a partir de esta declaración que al invertir la línea OP en dirección opuesta, los cosenos de dirección de la línea también se invierten. En una situación donde la línea dada no pasa a través del origen, se dibuja una línea paralela a la línea dada que pasa a través del origen y, al hacerlo, los ángulos permanecen iguales a los ángulos formados por la línea original. Por lo tanto, obtenemos la misma dirección.
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Como estamos considerando una línea que pasa por el origen para descubrir los ángulos de dirección y sus cosenos, podemos considerar los vectores de posición de la línea OP.
Si [math] OP = r [/ math], entonces de la figura 1 anterior, podemos ver que
[matemáticas] x = rcosα [/ matemáticas]
[matemáticas] y = rcosβ [/ matemáticas]
[matemáticas] z = rcosγ [/ matemáticas]
Donde r denota la magnitud del vector y está dada por,
[matemáticas] r = (x – 0) ^ 2 + (y – 0) ^ 2 + (z – 0) ^ 2 [/ matemáticas]
⇒ [matemáticas] r = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 [/ matemáticas]
Los cosenos de los ángulos de dirección están dados por cosα, cosβ y cosγ y estos se denotan por l, myn respectivamente. Por lo tanto, las ecuaciones anteriores se pueden reformular como:
[matemáticas] x = rcosα = lr ——————————————————— (1) [/ matemáticas]
[matemáticas] y = rcosβ = mr ——————————————————– (2) [/ matemáticas]
[matemáticas] z = rcosγ = nr ——————————————————— (3) [/ matemáticas]
También podemos representar r en términos de sus componentes de vector unitario utilizando el sistema ortogonal.
[matemáticas] r = xi ^ + yj ^ + kz ^ [/ matemáticas]
Sustituyendo los valores de x, y y z, tenemos
[matemáticas] r = lri ^ + mrj ^ + nrz ^
⇒r ^ = r / | r | = li ^ + mj ^ + nz ^ [/ matemáticas]
Por lo tanto, podemos decir que los cosenos de los ángulos de dirección de un vector r son los coeficientes de los vectores unitarios i ^, j ^ y k ^ cuando el vector unitario r ^ se resuelve en términos de sus componentes rectangulares.
Entonces, [matemáticas] l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 1 [/ matemáticas]
Entonces, en el caso del eje x;
[matemáticas] α = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] β = 90 ^ 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] γ = 90 ^ 0 [/ matemáticas]
Por lo tanto,
[matemáticas] l = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] m = n = 0 [/ matemáticas]
Por lo tanto, las relaciones de dirección del eje x son [matemáticas] (1,0,0) [/ matemáticas]
Espero que esto haya sido útil.
Saludos.