Si la tangente en (1,1) a [matemática] y ^ 2 = x (2-x) ^ 2 [/ matemática] se encuentra nuevamente con la curva en algún punto P, ¿cómo encuentro las coordenadas de P?

Answer 1

A2A

Es sencillo. Necesitamos encontrar la ecuación de la tangente y luego podemos encontrar dónde se cruza [math] \: y ^ 2 = x (2-x) ^ 2 \ ldots (1) [/ math]

Ahora, [math] \: 2yy ‘= (2-x) ^ 2 + 2x (2-x) [/ math]

La tangente está en [matemáticas] \ 🙁 1,1) \: [/ matemáticas] así que-

[matemáticas] \ implica y ‘= \ dfrac {3} {2} [/ matemáticas]

La ecuación de la línea cuya pendiente es 3/2 y pasa por (1,1) es-

[matemáticas] \ dfrac {y-1} {x-1} = \ dfrac {3} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2y-2 = 3x-3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = \ dfrac {3x-1} {2} [/ matemáticas]

Usando esto en (1) obtenemos

[matemáticas] (\ dfrac {3x-1} {2}) ^ 2 = x (2-x) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 9x ^ 2-6x + 1 = 4x (4-4x + x ^ 2) = 16x-16x ^ 2 + 4x ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 4x ^ 3-25x ^ 2 + 22x-1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 4x ^ 3-4x ^ 2-21x ^ 2 + 21x + x-1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x-1) (4x ^ 2-21x + 1) = 0 [/ matemáticas]

Usando la fórmula cuadrática, factoriza el término cuadrático y luego sustituye el valor de x obtenido en la ecuación de la tangente para encontrar y.

(Perezoso para resolver más jeje ..)

Answer 2

* A2A: –

[math] \ star [/ math] Deje que el punto sea [math] \ text {P $ \ left (\ alpha, \ beta \ right) $} [/ math]

[matemática] \ implica y ^ 2 = x \ izquierda (2-x \ derecha) ^ 2 [/ matemática]

[matemática] \ implica \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ dfrac {(x-2) (3x-2)} {2y} [/ math]

[math] \ implica \ left. \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} \ right | _ {(1,1)} = – \ dfrac {1} {2} [/ math ]

[matemática] \ estrella [/ matemática] La ecuación de la tangente será: –

[matemáticas] \ implica \ dfrac {y-1} {x-1} = – \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x + 2y = 3 [/ matemáticas]

[math] \ star [/ math] Ahora, el punto [math] \ text {P $ \ left (\ alpha, \ beta \ right) $} [/ math] satisfará tanto la ecuación de la tangente como la curva y así tenemos las ecuaciones [matemáticas] 2 [/ matemáticas] como: –

[matemáticas] \ implica \ alpha + 2 \ beta = 3 \ ldots (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ beta ^ 2 = \ alpha \ left (2- \ alpha \ right) \ ldots (2) [/ math]

[math] \ star [/ math] Al resolver ambos [math] \ text {(1) & (2)} [/ math] obtenemos:

[matemáticas] \ implica \ boxed {\ left (\ alpha, \ beta \ right) = \ left (\ dfrac {9} {4}, \ dfrac {3} {8} \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ bigstar [/ matemáticas] Confirmación: –

Answer 3

Encuentra la ecuación de la tangente y obténla en forma de y = mx + c. encontrar my c.

luego sustituya y = mx + c en la curva dada y resuelva para x y en consecuencia encuentre y. Las x (s) e y (s) que obtenga serán las coordenadas de los puntos P (x, y).

Espero que esto ayude.

Answer 4

2y * dy / dx = x * 2 * (2-x) + (2-x) ^ 2
dy / dx en (1,1) = (1 * 2 * (2-1) + (2-1) ^ 2) / (2 * 1) = 3/2
(y-1) / (x-1) = 3/2
y = (3/2) (x-1) + 1 .. (1)
y ^ 2 = x * (2-x) ^ 2 .. (2)
ponga la ecuación (1) en la ecuación (2) y resuelva para x
obtendrá 2 valores, uno de ellos será 1 y el otro pasará por p