Las funciones trigonométricas no están definidas en términos de triángulos en ángulo recto. Esas definiciones de triángulos en ángulo recto son un artefacto histórico y, aunque simples, causan muchos problemas incluso para explicar cómo funcionan las relaciones trigonométricas para ángulos que son más grandes que un ángulo recto, y mucho menos explicar cuál es la relación trigonométrica de un número complejo es.
Así es realmente cómo funcionan las funciones trigonométricas para otros triángulos: al no definirlos en términos de triángulos en primer lugar .
Lo que digo aquí es muy similar a lo que mucha gente ha estado diciendo sobre [math] \ pi [/ math]. A la mayoría de los matemáticos que valen la pena no les gusta definir [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] como [matemáticas] \ dfrac {C} {d} [/ matemáticas], donde [matemáticas] C [/ matemáticas] es la circunferencia y [math] d [/ math] es el diámetro de un círculo. Preferimos definir [math] \ pi [/ math] de otras maneras mejores.
Hay bastantes formas de definir las relaciones trigonométricas, que son equivalentes. Solo voy a definir las funciones seno y coseno: las otras cuatro relaciones se pueden definir fácilmente en términos de estas dos, utilizando las siguientes identidades conocidas:
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[matemáticas] \ tan z = \ dfrac {\ sen z} {\ cos z}; \ quad \ sec z = \ dfrac {1} {\ cos z}; [/ matemáticas]
[matemáticas] \ cot z = \ dfrac {\ cos z} {\ sin z}; \ quad \ csc z = \ dfrac {1} {\ sin z}. [/ matemáticas]
Bueno. La primera forma de definir [matemáticas] \ sen z [/ matemáticas] y [matemáticas] \ cos z [/ matemáticas] es mediante la siguiente serie:
[matemáticas] \ sin z = \ dfrac {z ^ 1} {1!} – \ dfrac {z ^ 3} {3!} + \ dfrac {z ^ 5} {5!} – \ dfrac {z ^ 7} {7!} + \ Cdots; [/ math]
[matemáticas] \ cos z = \ dfrac {z ^ 0} {0!} – \ dfrac {z ^ 2} {2!} + \ dfrac {z ^ 4} {4!} – \ dfrac {z ^ 6} {6!} + \ Cdots. [/ Math]
Las dos series anteriores convergen para todos los valores de [math] z [/ math], incluidos los valores complejos de [math] z [/ math]. Si está familiarizado con los grados, debe tener en cuenta que las definiciones anteriores solo coincidirán con sus funciones de seno y coseno habituales después de convertir sus ángulos a radianes. Sin embargo, esto es extremadamente fácil: simplemente multiplique su ángulo de grado por [matemáticas] \ pi / 180 [/ matemáticas]. Por ejemplo, [matemáticas] \ sin 30 ^ \ circ = \ sin (\ pi / 6) = \ dfrac {\ pi / 6} {1!} – \ dfrac {(\ pi / 6) ^ 3} {3! } + \ dfrac {(\ pi / 6) ^ 5} {5!} – \ dfrac {(\ pi / 6) ^ 7} {7!} + \ cdots [/ math], y esto converge a [math] \ frac {1} {2} [/ matemáticas].
La segunda forma de definir [matemáticas] \ sen z [/ matemáticas] y [matemáticas] \ cos z [/ matemáticas] es definiendo primero la función exponencial extremadamente importante
[matemáticas] \ exp z = \ dfrac {z ^ 0} {0!} + \ dfrac {z ^ 1} {1!} + \ dfrac {z ^ 2} {2!} + \ dfrac {z ^ 3} {3!} + \ Cdots [/ math]
y luego decir eso
[matemáticas] \ sin z = \ dfrac {\ exp (iz) – \ exp (-iz)} {2i}; [/ matemáticas]
[matemáticas] \ cos z = \ dfrac {\ exp (iz) + \ exp (-iz)} {2}. [/ matemáticas]
El símbolo [math] i [/ math], por supuesto, representa la unidad imaginaria. Una vez más, estas definiciones funcionan para cualquier número complejo [matemáticas] z [/ matemáticas], y nuevamente, necesitará convertir sus ángulos de grados a radianes antes de usar estas funciones trigonométricas.
Si no necesita usar funciones trigonométricas de números complejos, puede usar las definiciones a continuación, derivadas del análisis real.
Esta definición utiliza ecuaciones diferenciales, específicamente, la ecuación diferencial [matemáticas] y ^ {\ prime \ prime} + y = 0 [/ matemáticas].
[math] \ sen x [/ math] es la solución de la ecuación diferencial anterior cuyas condiciones iniciales son [math] y (0) = 0 [/ math], [math] y ^ \ prime (0) = 1 [/ matemáticas].
[math] \ cos x [/ math] es la solución de la ecuación diferencial anterior cuyas condiciones iniciales son [math] y (0) = 1 [/ math], [math] y ^ \ prime (0) = 0 [/ matemáticas].
Hay otras definiciones que usan integrales, por ejemplo, pero invariablemente, estas definiciones no definirán las razones trigonométricas para todos los números reales, por lo que requieren la especificación adicional de que estas funciones son periódicas con respecto a algún período. Las definiciones de ‘libro de escuela’ de funciones trigonométricas en términos de triángulos son culpables de esto, por ejemplo. Prefiero usar definiciones, como las tres anteriores, donde esto no es necesario.