En un triángulo agudo ABC con ángulo BAC = 70 grados, se hacen las altitudes AA1, BB1 y CC1. Encuentra el valor del ángulo B1A1C1?

Answer 1

En un triángulo agudo ABC con ángulo BAC = 70 grados, se hacen las altitudes AA1, BB1 y CC1. Encuentra el valor del ángulo B1A1C1?

Respuesta: [matemáticas] \; \ ángulo B_ {1} A_ {1} C_ {1} = 40 ^ {\ circ} [/ matemáticas].

En el gráfico anterior, [math] \ angle BAC [/ math] se ha dividido en dos ángulos, [math] \ theta [/ math] y [math] \ phi [/ math]. El ángulo complementario de [math] \ theta [/ math] se muestra como [math] \ overline {\ theta} [/ math] y el ángulo complementario de [math] \ phi [/ math] se muestra como [math] \ overline {\ phi} [/ math]. El ortocentro del triángulo está marcado con una [matemática] H [/ matemática]. Todos los ángulos se han resuelto en términos de [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] y [matemáticas] \ phi [/ matemáticas].

Como la pregunta no solicita una prueba de que las tres altitudes se encuentran en el punto H, se dará por sentado.

Debido a que [matemática] \ overline {BC_ {1}} [/ math] es [math] \ perp [/ math] a [math] \ overline {C_ {1} H} [/ math], cualquier segmento que sea [math] ] \ parallel [/ math] a [math] \ overline {BC_ {1}} [/ math] también debe ser [math] \ perp [/ math] a [math] \ overline {C_ {1} H} [/matemáticas]. Entonces, el segmento que va desde el punto [matemáticas] D [/ matemáticas], el punto medio de [matemáticas] \ overline {BH} [/ matemáticas], hasta el punto medio de [matemáticas] \ overline {C_ {1} H} [/ matemática] debe ser [matemática] \ paralela [/ matemática] a [matemática] \ overline {BC_ {1}} [/ matemática] y [matemática] \ perp [/ matemática] a [matemática] \ overline {C_ {1} H} [/ matemáticas]. Del mismo modo, el segmento que va desde el punto [matemático] D [/ matemático] hasta el punto medio de [matemático] \ overline {A_ {1} H} [/ matemático] debe ser [matemático] \ paralelo [/ matemático] a [matemático ] \ overline {BA_ {1}} [/ math] y [math] \ perp [/ math] a [math] \ overline {A_ {1} H} [/ math].

Esto significa que los puntos [matemática] B [/ matemática], [matemática] C_ {1} [/ matemática], [matemática] H [/ matemática] y [matemática] A_ {1} [/ matemática] son ​​cíclicos, lo que significa que Se encuentran en un círculo común. El centro del círculo es el punto [matemático] D [/ matemático] y las distancias desde [matemático] D [/ matemático] a los cuatro puntos cíclicos se marcan con una distancia de [matemático] r [/ matemático].

En el diagrama, [matemáticas] \ ángulo A_ {1} C_ {1} H [/ matemáticas] se ha designado como [matemáticas] \ alfa [/ matemáticas] y otros ángulos se han resuelto en consecuencia. Como [math] \ triangle A_ {1} DH [/ math] es un triángulo isósceles, sabemos que [math] \ angle DA_ {1} H [/ math] es equivalente a [math] \ angle DHA_ {1} = \ overline {\ phi} [/ math]. A partir de esto, como se muestra en el diagrama, podemos determinar que [math] \ alpha = \ phi [/ math] y [math] \ angle HA_ {1} C_ {1} = 20 ^ {\ circ} [/ math] .

No se muestra, pero siguiendo la lógica exacta, se puede demostrar que [math] \ angle HA_ {1} B_ {1} [/ math] también es igual a [math] 20 ^ {\ circ} [/ math]. Esto se debe a que los puntos [matemáticas] C [/ matemáticas], [matemáticas] A_ {1} [/ matemáticas], [matemáticas] H [/ matemáticas] y [matemáticas] B_ {1} [/ matemáticas] son ​​cíclicas y porque [ matemática] \ angle CHB_ {1} = 70 ^ {\ circ} [/ math].

[matemáticas] \ qquad \ por lo tanto \ ángulo B_ {1} A_ {1} C_ {1} = 40 ^ {\ circ} [/ matemáticas]

Extra:

Hemos demostrado una propiedad de [matemática] 3 [/ matemática] puntos concéntricos, digamos [matemática] A [/ matemática], [matemática] B [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática], con el centro dice [matemática] ] M [/ matemáticas].

Es decir: [math] \; \ angle BAC + \ angle MBC = 90 ^ {\ circ} [/ math] y [math] \; \ angle BCA + \ angle MBA = 90 ^ {\ circ} [/ math].

El siguiente diagrama demuestra la propiedad de una manera diferente.

Answer 2

Deje [math] H [/ math] denotar el ortocentro. Dado que [matemáticas] \ ángulo BB_1H = \ ángulo BA_1H = 90 ^ \ circ [/ matemáticas], [matemáticas] B, A_1, H, B_1 [/ matemáticas] son ​​concíclicas, lo que muestra que [matemáticas] \ ángulo B_1A_1H = \ ángulo B_1BH = 90 ^ \ circ – \ angle BAC = 20 ^ \ circ [/ math]. Del mismo modo, [matemáticas] \ ángulo C_1A_1H = 20 ^ \ circ [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] \ angle B_1A_1C_1 = 40 ^ \ circ [/ math].

Answer 3

Una altitud divide el vértice desde el que se dibuja. Entonces, el ángulo BAA1 = 35 grados. Usando el teorema de la suma de ángulos (la suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados) y el hecho de que los ángulos verticalmente opuestos son iguales, obtenemos el ángulo B1A1C1 = 70 grados. (Además, B1A1 y AB son paralelos entre sí, por lo que también se aplican las propiedades de los ángulos entre líneas paralelas)