¿A qué ángulo se proyecta una partícula para que la altura que alcanza sea igual a la mitad de su rango horizontal?

Answer 1

Digamos que tenemos una velocidad inicial [matemática] v [/ matemática] en el ángulo [matemática] \ theta [/ matemática].

[matemáticas] x = v_x t = (v \ cos \ theta) t [/ matemáticas]

[matemática] y = v_y t – \ frac 1 2 gt ^ 2 = (v \ sin \ theta) t – \ frac 1 2 gt ^ 2 [/ matemática]

Para máximo [matemáticas] y [/ matemáticas] tenemos

[matemáticas] y ‘= 0 = v \ sin \ theta – g t _ {\ textrm {apex}} [/ matemáticas]

[matemáticas] t _ {\ textrm {apex}} = v \ sin \ theta / g [/ matemáticas]

[matemáticas] h = (v \ sin \ theta) v \ sin \ theta / g – \ frac 1 2 g (v \ sin \ theta / g) ^ 2 [/ matemáticas]

Esta pregunta es sobre distancias relativas, así que simplemente configuremos [math] v = 1 [/ math] y ahorremos algo de tiempo.

[matemáticas] h = \ frac 1 g \ sin ^ 2 \ theta – \ frac 1 {2 g} \ sin ^ 2 \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] h = \ dfrac {\ sin ^ 2 \ theta} {2 g} [/ matemáticas]

Omitamos la derivación y simplemente afirmemos que sabemos en [math] 2 t _ {\ textrm {apex}} [/ math] el proyectil aterriza, dando el rango [math] r [/ math]:

[matemáticas] r = (v \ cos \ theta) (2 t _ {\ textrm {apex}}) = \ frac 2 g \ cos \ theta \ sin \ theta [/ math]

Queremos [math] p = \ frac 1 2 [/ math] en [math] h = pr [/ math]

[matemáticas] p = \ dfrac hr = \ dfrac {\ frac {1} {2g} \ sin ^ 2 \ theta} {\ frac 2 g \ cos \ theta \ sin \ theta} = \ frac 1 4 \ tan \ theta [/matemáticas]

[matemáticas] \ theta = \ arctan (4p) [/ matemáticas]

Entonces tenemos

[matemáticas] \ theta = \ arctan (4 (\ frac 1 2)) = \ arctan 2 \ aprox 63 ^ \ circ [/ math]

Cheque:

[matemáticas] v_x = \ cos \ arctan 2 = \ dfrac {1} {1 + 2 ^ 2} = 1 / \ sqrt {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] v_y = \ sin \ arctan 2 = 2 / \ sqrt {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = (2 / \ sqrt {5}) t – \ frac 1 2 gt ^ 2 [/ matemáticas]

max en [matemáticas] t = \ frac 1 g (2 / \ sqrt 5) [/ matemáticas]

[matemáticas] h = (2 / \ sqrt {5}) \ frac 1 g (2 / \ sqrt 5) – \ frac 1 2 g (4 / 5g ^ 2) = 2 / 5g [/ matemáticas]

En [matemáticas] t = \ frac 1 g (4 / \ sqrt 5) [/ matemáticas] obtenemos

[matemáticas] y = (2 / \ sqrt {5}) \ frac 1 g (4 / \ sqrt 5) – \ frac 1 2 g (16 / 5g ^ 2) = 0 [/ matemáticas]

entonces ese es el momento para el rango completo

[matemáticas] r = t v_x = \ frac 1 g (4 / \ sqrt 5) 1 / \ sqrt {5} = 4 / 5g [/ matemáticas]

que es [matemáticas] 2h \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]

Answer 2

Deje que [math] u [/ math] sea la velocidad inicial en ángulo [math] \ theta [/ math] a la horizontal.

La velocidad horizontal permanece constante en [matemática] u \ cos \ theta [/ matemática] a lo largo ya que la aceleración en dirección horizontal es [matemática] 0 [/ matemática].

[matemática] x = u \ cos \ theta t [/ matemática] donde [matemática] t [/ matemática] es el tiempo.

Si [math] v_y [/ math] es la velocidad en la dirección y en cualquier instante [math] v_y ^ 2 = (u \ sin \ theta) ^ 2–2gy [/ math]

para [math] y_ {max} \ v_y = 0 \ implica y_ {max} = \ dfrac {u ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta} {2g} [/ math]

para rango horizontal [matemática] y = 0 [/ matemática]

[matemáticas] y = u \ sin \ theta t- \ dfrac {1} {2} gt ^ 2 = 0 \ implica t = \ dfrac {2 u \ sin \ theta} {g} [/ matemáticas]

[matemáticas] H = u \ cos \ theta t = \ dfrac {2 u ^ 2 \ sin \ theta \ cos \ theta} {g} [/ math]

Dado [matemática] y_ {max} = \ dfrac {H} {2} [/ matemática]

[matemáticas] \ dfrac {u ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta} {2g} = \ dfrac {u ^ 2 \ sin \ theta \ cos \ theta} {g} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ tan \ theta = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ theta = 63.43495 ^ \ circ [/ matemáticas]