El espacio físico (o espacio-tiempo) es la construcción fundamental en física. Es para lo que tenemos una intuición. Todos los sistemas físicos reales están incrustados (o contenidos) dentro de este espacio físico. Podemos modelar este espacio físico de diferentes maneras.
Por ejemplo, en el contexto de la física clásica no relativista, modelamos el espacio físico como [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]. En el contexto de la relatividad especial, a menudo modelamos el espacio-tiempo físico como un espacio afín. En Relatividad general, lo modelamos como un múltiple, que es el espacio más general en el que uno puede hacer física tal como la conocemos. El modelo de espacio físico que elegimos adoptar es el que explica más naturalmente los resultados de los experimentos. La precesión de la órbita de Mercurio alrededor del Sol no puede explicarse si modelamos el espacio-tiempo como [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math] pero puede explicarse si lo modelamos como un múltiple y permitimos una noción de curvatura . Por lo tanto, la última descripción del espacio-tiempo tiene preferencia sobre la primera.
El espacio de configuración, por otro lado, es una construcción matemática abstracta que nos permite describir convenientemente la dinámica de los sistemas físicos. Debe enfatizarse que no tiene una interpretación física directa. De manera crucial, depende completamente del sistema que elijas estudiar (mientras que el espacio físico es más fundamental que cualquier sistema físico integrado en él).
Por ejemplo, considere 3 partículas puntuales que no interactúan moviéndose a través del espacio (que en este contexto modelamos como [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]). Para este sistema, el espacio de configuración será [math] \ mathbb {R} ^ 3 \ times \ mathbb {R} ^ 3 \ times \ mathbb {R} ^ 3 \ cong \ mathbb {R} ^ 9 [/ math ] Cada punto en este espacio corresponde a una configuración específica del sistema de 3 partículas. Y a medida que las 3 partículas trazan trayectorias continuas a través de [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math], se puede decir que el sistema combinado traza un camino continuo a través de [math] \ mathbb {R} ^ 9 [/ matemáticas]. Entonces, en esencia, hemos reducido el movimiento de 3 partículas a través de [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] al movimiento de una partícula hipotética a través de [math] \ mathbb {R} ^ 9 [/ math].
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El poder real de esta perspectiva se hace evidente solo cuando tienes interacciones limitantes. Por ejemplo, suponga que 2 de las partículas están conectadas por una varilla rígida de robo (por lo que, en esencia, la distancia entre ellas permanece fija). En ese caso, puede ser complicado escribir las leyes de fuerza en cada partícula y resolver las ecuaciones diferenciales acopladas. Pero si adoptamos el enfoque anterior de estudiar el movimiento de todo el sistema a través de su espacio de configuración, el problema se vuelve mucho más simple. En este caso, la restricción impuesta por la barra es que la distancia entre 2 de las partículas permanece fija. Esta restricción se manifestará como una especie de hiper-superficie en [math] \ mathbb {R} ^ 9 [/ math] (una variedad de 8 dimensiones) y el sistema está esencialmente limitado a moverse a lo largo de esta hiper-superficie. No quiero entrar en detalles sobre por qué puedes hacer esto, pero en última instancia es una consecuencia del principio de D’Alembert, que impone enormes restricciones a la naturaleza de las fuerzas de restricción.
Ahora ese era solo un tipo particular de espacio de configuración. Considere un segundo sistema de un cuerpo de material maleable incrustado en el mismo espacio físico ([math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]). Para variar, supongamos que este cuerpo de material tiene la forma de un toro (como el neumático de un automóvil). Llamaremos al conjunto de todos los puntos en este toro [matemáticas] S [/ matemáticas].
Ahora estamos interesados en todas las deformaciones posibles de este neumático de automóvil en presencia de tensiones externas sujetas al requisito de que no rompa el caucho del neumático de automóvil. Cada deformación permitida se considerará una configuración del neumático del automóvil. Tenga en cuenta que esto inmediatamente descarta ciertos tipos de configuraciones. Por ejemplo, no puede deformar continuamente el toro en una esfera sin desgarrarlo en alguna parte. El conjunto de todas las incrustaciones posibles [math] \ {\ phi \ | \ \ phi: S \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ 3 \} [/ math], de modo que [math] \ phi: S \ longrightarrow \ phi ( S) [/ math] es diffeomorphic (es decir, es un mapa uno a uno, continuo y diferenciable para garantizar que no rompa el caucho en el neumático), es entonces el espacio de configuración del neumático del automóvil. Observe que este espacio de configuración tiene una forma muy diferente al ejemplo anterior (aunque tanto la llanta de cuidado como las partículas puntuales están incrustadas en el mismo espacio físico). En el caso de las partículas puntuales, el espacio de configuración ([math] \ mathbb {R} ^ 9 [/ math]) es solo un conjunto de puntos (9-tuplas de números reales) mientras que en este ejemplo, es un conjunto de mapas Pero la filosofía esencial es la misma.
La evolución temporal del sistema es ahora una trayectoria continua a través de este espacio de configuración bastante abstracto. En cada instante [math] t [/ math], el sistema tiene una configuración [math] \ phi_ {t} [/ math]. Así que nuevamente hemos reducido la dinámica de todo un cuerpo de material al movimiento de una “partícula puntual” a través del espacio de configuración.
En resumen, el espacio físico / espacio-tiempo es una realidad objetiva. Es una estructura fundamental sobre la cual se construye toda la física. El espacio de configuración es una construcción matemática extraordinariamente poderosa, pero es simplemente el resultado de cómo elegimos estudiar sistemas físicos. Y como hemos visto, tiene una forma diferente para diferentes sistemas físicos, por lo que no se puede considerar como una construcción fundamental. Además, en el contexto de las teorías de campo, la idea de un espacio de configuración se elimina por completo. Nadie sabe cómo llegar a una definición útil para el espacio de configuración de los campos. Si cambia su modelo de espacio físico, el espacio de configuración para todos los sistemas físicos integrados en ese espacio también cambia en consecuencia.