¿Dónde puedo encontrar un foro para discutir esta cuestión de límites y diferenciabilidad? Educación te da un futuro mejor

Holla!

¡Es bueno ver esta pregunta nuevamente! Se le preguntó en el examen de ingreso B.Stat de ISI, en 2017. La pregunta puede parecer un poco problemática al principio, pero confía en mí, es un problema muy interesante y hermoso, especialmente para los principiantes en Cálculo.

En lugar de proporcionarle la solución, permítame señalar algunas observaciones interesantes. Puede parecer trivial, pero creo que esculpen el camino hacia la solución de muchos problemas de cálculo a este nivel.

En primer lugar, observe la noción [math] f: \ mathbb {R} → \ mathbb {R} [/ math] que se ignora en su mayoría. Esto simplemente significa que la función tiene un valor real, es decir, toma números reales como entrada y proporciona otro número real como resultado o salida. ¿Por qué está ahí? Sigue leyendo.

En segundo lugar, para aquellos que no están expuestos a funciones definidas por partes antes o que no tienen mucha idea, ¡existe la extraña estructura de la función misma! Alcanza el valor [matemática] 1 [/ matemática] en [matemática] x = 1 [/ matemática] y en otros lugares se encuentra detrás de esta expresión de aspecto engorroso

[matemáticas] e ^ {(x ^ {10} -1)} [/ matemáticas] [matemáticas] + (x-1) ^ {2} \ sin {(\ frac {1} {x-1})} [ /matemáticas]

Mira a este chico con cuidado. ¡En [math] x = 1 [/ math] esta expresión deja de tener sentido en el sentido de que no puede obtener el número real de salida de esto! ¡No está definido allí ! Por lo tanto , de acuerdo con los criterios de la función de valor real (salida de valor real ya que la entrada es real), la función [matemática] f (x) [/ matemática] debe definirse esto únicamente en [matemática] x = 1 [/ matemática]. Además, observe que aquí la región de comportamiento anómalo de la función es solo un punto. ¡La función se convierte en la expresión engorrosa incluso en valores que son un poco menores o mayores que 1 que valores que no son iguales a 1 (¡ Infinitesimales que aparecerán en breve ! )

Pero, ¿por qué hay 1 en [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]? La respuesta es satisfacer la continuidad de la función. Si tomas el límite

[matemática] \ lim \ límites_ {x \ to1} [/ matemática] [matemática] f (x) [/ matemática], el resultado será 1, estableciendo así el valor 1 en [matemática] x = 1 [/ matemática] lo hace continuo ¡Pero cuidado, la continuidad por sí sola no es suficiente para la diferenciabilidad! Esta función también es un ejemplo de función que tiene discontinuidad removible en un punto. ¡Tomar el límite y ponerlo al punto es el procedimiento estándar para eliminar la discontinuidad!

Espero que esto sea suficiente para presentar la pregunta y explicar por qué está estructurada de esta manera. Ahora pasemos a la pregunta real que primero nos pide evaluar el valor de [math] f ‘(1) [/ math]. El problema aquí es entender que no puede simplemente aplicar cualquier fórmula estándar que involucre al operador [math] \ frac {d} {dx} [/ math] sobre la expresión de [math] f (x) [/ math] dada. Por qué ? Puede que te engañen para que expliques de esta manera: De acuerdo, tengo dos expresiones de la función, [math] \ frac {d} {dx} (1) [/ math] produce cero; ¡y diferenciar la otra fórmula no tendría sentido ya que no puedo poner x = 1 allí! ¡Entonces no es diferenciable en x = 1! Sin embargo, se equivocará ya que asumió su diferenciabilidad al aplicar la fórmula.

Para calcular la derivada de tales funciones definidas por partes, necesitamos volver a la definición misma de la derivada usando límites. Si eso produce algún valor significativo, la función se confirmará como diferenciable y el valor obtenido será su derivado en ese punto. Por definición [math] f ‘(1) [/ math] es

= [matemáticas] \ lim \ límites_ {h \ to0} \ frac {f (1 + h) -f (1)} {h} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ lim \ limits_ {h \ to0} \ frac {e ^ {(h + 1) ^ {10} -1} + h ^ 2 \ sin {(\ frac {1} {h})} – 1} {h} [/ matemáticas]

¿Por qué no he tenido en cuenta el dilema de los derivados de la mano izquierda o derecha ? Simplemente porque la función no se define por separado en diferentes regiones. ¡La expresión justo antes o justo después de [math] x = 1 [/ math] es la misma! Entonces [math] f (1 + h) yf (1-h) [/ math] se expresarán en la forma de la expresión dada para [math] f (x) [/ math] cuando [math] x [/ matemáticas] no es 1. ¡Es simplemente un punto donde la función queda fuera de nuestra liga! ¡Ahora, espero que mi énfasis en la rareza de la función se aclare! Si se hubiera definido por separado para [matemáticas] x 1 [/ matemáticas], ¡teníamos que verificar la diferenciabilidad de la mano izquierda y derecha por separado!

= [matemáticas] \ lim \ límites_ {h \ to0} \ frac {e ^ {(h + 1) ^ {10} -1} -1} {h} [/ matemáticas] + [matemáticas] \ lim \ límites_ { h \ to0} h \ sin {(\ frac {1} {h})} [/ math]

Ahora, el primer límite se puede evaluar fácilmente ya que está en la forma [math] 0/0 [/ math], ¡mientras que el segundo límite desaparece! Entonces [math] f ‘(1) [/ math] es igual a [math] \ lim \ limits_ {h \ to0} \ frac {e ^ {(h + 1) ^ {10} -1} -1} {h } [/ math] = 10 (¡el límite existe!)

Entonces, la función es realmente diferenciable en [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] y el valor de [matemáticas] f ‘(1) [/ matemáticas] es [matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] 10 [/ matemáticas] .

Para la segunda parte de la pregunta, usaré un hermoso resultado de infinitesimales. Recordar que

[matemáticas] f ‘(x) [/ matemáticas] = [matemáticas] \ lim \ límites_ {h \ to0} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} [/ matemáticas]

Ahora ciertamente para una h infinitesimalmente pequeña, está justificado escribir

[matemáticas] f (x + h) = f (x) + hf ‘(x) [/ matemáticas]!

De hecho, es atractivo que simplemente podamos olvidar la parte [matemática] \ lim \ limits_ {h \ to0} [/ matemática], o teniendo esto en cuenta, podemos manipular el comportamiento infinito de h. Seguramente, también es un resultado intrigante obtenido de la serie de Taylor, ¡pero este concepto de infinitesimales es mucho más intuitivo!

Ahora eche un vistazo a la expresión en la parte (ii). ¡Hay una gran suma involucrada dentro del límite! [math] u [/ math] no es más que una variable ficticia aquí. Para tratar con este tipo de sumatorios, mi consejo será expandir la suma para poder visualizar su contenido.

[matemáticas] \ lim \ limits_ {u \ to \ infty} \ left [100u-u \ left (f (1+ \ frac {1} {u}) + f (1+ \ frac {2} {u}) +…. + F (1+ \ frac {100} {u}) \ right) \ right] [/ math]

¡Ahora observe que como [math] u [/ math] tiende al infinito, todos los [math] r / u [/ math] s se vuelven infinitesimalmente pequeños! Entonces la expresión anterior se simplifica a

[matemáticas] \ lim \ limits_ {u \ to \ infty} \ left [100u-u \ left (100f (1) + \ frac {f ‘(1)} {u} (1 + 2 + 3 +… + 100 ) \ right) \ right] [/ math]

Al poner [math] f (1+ \ frac {r} {u}) = f (1) + \ frac {r} {u} f ‘(1) [/ math] para todos los rs de 1 a 100.

Simplificar da el límite

= [matemática] \ lim \ limits_ {u \ to \ infty} \ left [100u-100u-f ‘(1) \ frac {100 * 101} {2} \ right] [/ math]

= [matemáticas] -5050f ‘(1) [/ matemáticas]

= [matemáticas] -50500 [/ matemáticas]

Entonces, aquí tienes! La respuesta es -50500.

Fue largo Disculpas de antemano!

Espero que esto ayude ! 🙂