¿Cuál es la filosofía y la lógica de las matemáticas?

Answer 1

La lógica y la filosofía de las matemáticas son dos cosas separadas. Tal vez hay docenas y docenas de libros escritos sobre estas dos cosas, sin embargo, encontrará que las personas que escribieron sobre la lógica de las matemáticas a menudo escribieron sobre la filosofía de las matemáticas.

Hay dos escuelas diferentes quizás de filosofía matemática. Realismo matemático y antirrealismo. Los realistas matemáticos creen que los objetos matemáticos existen independientemente de nosotros, no inventamos objetos matemáticos, los descubrimos.

Los antirrealistas sostienen que lo contrario es verdad.

Las escuelas de realistas matemáticos incluyen el platonismo, el empirismo, el monismo matemático y el logicismo.

Más allá de esto, ¿por qué funcionan las matemáticas? Hubo un proceso de formalización a principios del siglo XX, fue el Programa de Hilbert. En realidad, esto no explica por qué funcionan las matemáticas, pero en este momento la gente se encontraba con paradojas e inconsistencias dentro de la teoría de conjuntos. La paradoja de Russell – Wikipedia

La formalización de las matemáticas condujo a una serie de resultados importantes, un teorema de integridad de Gödel – Wikipedia, además de los teoremas de incompletitud de Gödel – Wikipedia

Las consecuencias son vastas. Las limitaciones inherentes de los sistemas axiomáticos formales que contienen axiomas básicos de Peano significan que cualquier sistema formal consistente con esto tiene declaraciones que no pueden ser probadas o refutadas.

Es decir, hay declaraciones indecidibles, formalmente esto se conoce como el problema de detención o entscheidungs.

Hay varios problemas como este que no se pueden probar.

La base de las matemáticas se basa en una serie de principios teóricos de conjuntos llamados ZFC. Independientemente, existen otros sistemas formales de principios teóricos de conjuntos que pueden usarse para eliminar partes de estos axiomas y, además, otros axiomas utilizados para probar partes.

Answer 2

Según lo entiendo,

Tenemos,

INFINITO / PENSAMIENTO EN DIAGRAMAS:

(1) Finito, intratable, ilimitado.

(2) Modular, estructurado, escalable.

(3) Infinito, coherente, acotado.

Tenemos

MATEMÁTICAS BÁSICAS, ÁLGEBRA Y CÁLCULO

Métodos de pensar y conocer números.

Página de matemáticas de Nathan Coppedge

Cálculo intuitivo

Recursos de cálculo

Tenemos,

MATEMÁTICAS APLICADAS-

Por ejemplo, resolver problemas específicos como la paradoja de Von Neumann o el argumento diagonal de Cantor.

Solución lógica a la paradoja de von Neumann

Desaprobación del argumento diagonal de Cantor

Programación lógica

Mis ejemplos de teoría de la prueba

Y tenemos un área nebulosa a veces llamada MATEMÁTICA TEÓRICA

Implica aplicaciones avanzadas y crossovers con otras disciplinas. Por ejemplo, física, análisis estadístico y secuencias de Fibonacci (teoría del caos).

Física Intuitiva

Tenga en cuenta que se podría argumentar que las matemáticas no son más fuertes que el potencial colectivo de las mentes de los matemáticos. ¡Pero eso es bastante fuerte!

(Aproximadamente y en general, cuando no podemos usarlo, hay excepciones a lo anterior. Tenga en cuenta que no hablé de todas las aplicaciones. También hay economía, lógica y fundamentos de las matemáticas, áreas específicas de las matemáticas, etc.).

Answer 3

¿Qué son las matemáticas?

Las matemáticas son una rama estrecha de la lógica. Ambos son increíblemente rigurosos y estrictamente controlados. Las suposiciones que realice deben estar definidas de forma limitada y ser pocas. Las reglas por las cuales se realizan las derivaciones son monitoreadas cuidadosamente, permitiendo cero errores.

Las matemáticas hacen suposiciones sobre un rango limitado de cosas, a menudo incluyendo números, gráficos, modelos, funciones, etc. Sin embargo, es la misma forma rigurosa de pensar que un lógico se aplicará a cualquier problema.

Un ejemplo perfecto sería la “suposición” de que los números “existen”. Pero esto se desmorona muy rápidamente cuando preguntas, “¿qué demonios es un número de todos modos?” Y luego tienes que retroceder. Cualquier sistema lógico se basa en suposiciones comúnmente aceptadas, por lo que si hay algunas personas que están dispuestas a cuestionar qué es un número, debe ser aún más básico. Luego dices, “asume que tenemos vacío”, es decir, el conjunto vacío. Esta es la colección de nada. Es como nombrar lo que está dentro de un vacío: la nada pura. Básicamente, todos podemos aceptar la idea de “oye, no hay nada aquí”. Simbolicemos el conjunto vacío con este símbolo: 0.

También deberíamos tener la idea de un “conjunto”, que es básicamente una lista de cosas. El conjunto vacío 0, no tiene nada, ningún elemento.

Ahora, consideremos el conjunto de 0 , es decir, {0}. Bueno, esta es una lista con un elemento, 0. Así que es genial. Vamos a referirnos a este conjunto con un símbolo: 1.

Considere el conjunto de 1 y 0., es decir , {1,0}. Esta lista tiene dos elementos, 1 y 0. Genial. Consultemos esta lista con un símbolo: 2.

De esta manera, comenzando con la nada, hemos “construido” el conjunto de números naturales a partir de supuestos comúnmente aceptados.

Por que funciona

Debido a los estrictos controles sobre todo, las conclusiones deben ser ciertas, suponiendo que lo que asumimos es cierto . Si nuestras suposiciones son incorrectas, nuestras conclusiones podrían ser verdaderas o falsas. No lo sabríamos. Por eso es importante ser correcto en nuestras suposiciones. ¡Es por eso que la exploración espacial es tan importante! Si no podemos hacer observaciones precisas, nuestras suposiciones no serán lo suficientemente precisas como para sacar conclusiones correctas sobre cómo funcionan las cosas.

¿Cuándo no podemos usarlo?

Buena pregunta. Es difícil dar una respuesta rápida y dura a eso. Durante mucho tiempo, pensamos que el arte no podía ser ayudado con las matemáticas, pero estamos descubriendo que eso no es necesariamente cierto todo el tiempo. Hay secuencias agradables de ritmos y tonos que se pueden mapear y modelar, hasta cierto punto, con modelos matemáticos. Ahora tenemos IA que puede crear pinturas originales que podrían pasar como un Rembrandt. ¡Otra IA puede crear inventos originales patentados! ¡La creatividad se está volviendo un poco más parecida a la ciencia, que incluirá bastante matemática!

¡Así que me abstendré de esta respuesta por ahora! : _)

Answer 4

Las matemáticas pueden ser tanto lógicas como ilógicas. Por ejemplo, la línea numérica pone cero en el medio de la línea. A la derecha tenemos números positivos y a la izquierda, tenemos números negativos. Los números representan la cantidad de alguna propiedad pero no puede tener una cantidad negativa. Tan pronto como tenga cero cantidad de una propiedad, habrá terminado.

Answer 5

Existe porque es útil ; nos da respuestas a preguntas importantes que no podríamos haber descubierto sin él. Y funciona porque fue diseñado para funcionar. Los axiomas básicos de las matemáticas se basan en lo que sucede cuando manipulas objetos discretos como piedras. Las matemáticas que utilizamos contienen la ecuación ‘2 + 2 = 4’ porque cuando juntamos dos piedras con otras dos piedras, casi siempre obtenemos cuatro piedras.

Si casi siempre obtuvimos algún otro número de piedras, entonces simplemente usaríamos una matemática diferente. Es bastante posible, por ejemplo, construir un sistema matemático en el que 2 + 2 = 3. Pero no lo usamos aquí en nuestro universo porque nos da los resultados incorrectos.

Answer 6

¡Existen libros completos sobre este tema! Lo mejor que puede resumir es un desacuerdo sobre si el universo en sí mismo es matemática (“Nuestro universo matemático” de Max Tegmark); si las matemáticas son una creación humana (un lenguaje lógico humano) que por coincidencia es una construcción útil; si las matemáticas son simplemente una descripción de la naturaleza y funcionan porque la naturaleza misma funciona.

Bertrand Russell y Godel trabajaron cuando es utilizable y cómo. Todavía requiere algunos supuestos no demostrables para comenzar. Puedes discutir si en su base el universo es geometría o aritmética. (Echa un vistazo a las formas de Kaluza-Klein).

Answer 7

No es “es” pero creo. No creo que esperes que los conozca a todos. Léelos tú mismo. Buscar (Enciclopedia de filosofía de Stanford)