¿Qué significa lógico para los matemáticos?

Answer 1

En primer lugar, mencionaré lo que lógico no significa.

• Lógico no significa “parece tener sentido” como a veces lo hace en inglés ordinario. Si ve a un tipo caminando por la calle, pie izquierdo, pie derecho, pie izquierdo, pie derecho, etc. y dobla la esquina y ya no puede verlo, es “lógico” que siga, pie izquierdo , pie derecho, pie izquierdo, pie derecho, etc. Sí, eso tiene sentido, pero tal vez no. Quizás se detuvo para mirar en el escaparate de una tienda.

• Lógico no significa que “si hay un patrón, continúa”. La secuencia de números. Por ejemplo, ¿cuál es el mayor número de regiones en las que puede cortar un círculo uniendo todos los puntos [matemáticos] n [/ matemáticos] alrededor de un círculo mediante líneas rectas?

Un punto: 1 región. Dos puntos: 2 regiones. Tres puntos: 4 regiones. Cuatro puntos: 8 regiones. Cinco puntos: 16 regiones. Parece que cada vez que agrega un punto duplica la cantidad de regiones. Pero por Seis puntos: solo se pueden hacer 31 regiones.

Lógica deductiva

Entonces, ¿qué significa lógico? Significa lógica deductiva, una lógica precisa que se puede describir en términos de conectivos lógicos y cuantificadores.

Lógica proposicional

Parte de la lógica deductiva involucra solo los conectivos lógicos. Hay varios conectivos lógicos, y la lógica que solo los usa se llama lógica proposicional. Es más o menos lo mismo que la lógica booleana.

Si tiene declaraciones (o proposiciones) [matemática] P [/ matemática] y [matemática] Q [/ matemática], entonces [matemática] P \ Rightarrow Q [/ matemática] expresa la implicación que menciona, a veces leída como [matemática] P [/ matemática] implica [matemática] Q [/ matemática], y algunas veces se lee como: Si [matemática] P [/ matemática] entonces [matemática] Q [/ matemática]. Significa que si [math] P [/ math] es verdadero, entonces [math] Q [/ math] también es verdadero.

Otros conectivos lógicos son

• [math] \ neg P [/ math], que es cierto si [math] P [/ math] es falso. Léalo como: No [matemática] P [/ matemática], o como No es el caso que [matemática] P [/ matemática].

• [math] P \ land Q [/ math], que es cierto si tanto [math] P [/ math] es verdadero como [math] Q [/ math] es verdadero.

• [math] P \ lor Q [/ math], que es verdadero si [math] P [/ math] es verdadero o [math] Q [/ math] es verdadero o ambos son verdaderos

• [math] P \ Leftrightarrow Q [/ math], que es cierto si ambos [math] P [/ math] y [math] Q [/ math] son ​​verdaderos o ambos son falsos.

Lógica predicada

La lógica deductiva incluye más que la lógica proposicional. La lógica proposicional trata enunciados completos, pero la lógica de predicados estudia las partes de los enunciados. Una declaración habla de una cosa o de cosas, y una declaración tiene un predicado, siendo el predicado la parte que incluye el verbo. Por ejemplo, “es verde” es un predicado de un argumento. Denotémoslo [matemáticas] G [/ matemáticas]. La afirmación de que algo, [matemática] x [/ matemática], es verde, puede denotarse [matemática] G (x) [/ matemática].

La lógica de predicados también tiene cuantificadores. Para decir que todo es verde requiere un cuantificador universal: [math] \ forall x, G (x) [/ math]. Por otro lado, decir que algo es verde requiere un cuantificador existencial: [math] \ exist x, G (x) [/ math].

Reglas

La lógica proposicional y la lógica de predicados tienen muchas reglas. Uno de los más simples se llama modus ponens: cuando [math] P \ Rightarrow Q [/ math] y [math] P [/ math], puede concluir [math] Q [/ math].

No tiene que conocer la lógica proposicional y la lógica de predicados y todas las reglas para usar la lógica deductiva. La gente lo hace todo el tiempo. Parece ser innato. Pero se puede codificar con lógica simbólica (cuyos principios se mencionan anteriormente).

Más que solo lógica

Los matemáticos utilizan la intuición y la adivinanza para investigar, pero el objetivo es demostrarlo todo con lógica deductiva. Hasta que haya una prueba de algo usando la lógica deductiva, las matemáticas no están completas.

Answer 2

Primero, si todo, uno dice que [matemática] B [/ matemática] se sigue lógicamente de [matemática] A [/ matemática] si hay una prueba matemática de [matemática] B [/ matemática] dada [matemática] A [/ matemática] .

En realidad, creo que lo verdadero y lo lógico no son exactamente lo mismo, lo cual es algo bastante interesante. Si [math] B [/ math] se sigue lógicamente de [math] A [/ math] y [math] A [/ math] es verdadero, entonces sí, [math] B [/ math] es verdadero. Pero según Gödel, puede haber declaraciones verdaderas que no tienen una prueba, es decir, ¡no son “lógicas”! El primer teorema de incompletitud de Gödel dice que hay afirmaciones sobre números que no se pueden probar o refutar. Se puede especular que, por ejemplo, la conjetura de Goldbach no es demostrable de esta manera, es decir, no hay pruebas lógicas. Pero lo extraño es que si Goldbach es falso, existe claramente un contraejemplo (Goldbach dice que cada número entero positivo es la suma de dos números primos). Por lo tanto, solo puede ser imposible de probar dentro del sistema formal si es cierto.

(Editar: Ciertamente no soy un experto y me encantaría que me corrijan en cualquiera de los anteriores).

Un conjunto de axiomas no puede ser lógico, ya que la razón por la que tenemos axiomas es que no podemos probarlos de la nada. Si un axioma fuera lógico dado algún otro axioma, no sería necesario como axioma. Podemos hablar acerca de los axiomas como “obvios” o “razonables” intuitivamente, pero matemáticamente hablando son solo declaraciones que suponemos que son capaces de hacer matemáticas.