¿Puedes demostrar que para todos los rectángulos con ancho y alto de enteros, cada camino de una línea que comienza en una esquina finalmente termina en otra esquina?

Answer 1

Si suponemos que el camino va en un ángulo de 45 grados con respecto a la horizontal, ¡llegará a una esquina! Aquí hay una imagen para ayudar a visualizarlo.

Si ‘a’ y ‘b’ son enteros (o de hecho, incluso ambos números racionales), entonces debe haber una solución para [math] m \ cdot a = n \ cdot b [/ math] donde myn son ambos enteros

Podemos modelar nuestro problema colocando varios rectángulos del mismo tamaño uno al lado del otro. El modelo de nuestra línea se puede dar de la siguiente manera:

Como sabemos que a y b son números enteros, simplemente podemos tomar el MCM de ‘a’ y ‘b’ para encontrar cuántos “rebotes” debe hacer nuestra línea para llegar a una esquina.

Sin embargo, esto se vuelve un poco más interesante sin la suposición de que vas a un ángulo de 45 grados. Específicamente, si ‘a’ es el ancho y ‘b’ es la altura de su rectángulo, usemos ‘c’ como el otro lado del triángulo creado con nuestro rayo (etiquetado arriba como ‘b’ ya que tenemos un ángulo de 45 grados creando así un triángulo isósceles). Si sabemos que ‘c’ es racional, entonces se aplica nuestra misma prueba. Sin embargo, si ‘c’ es irracional, entonces no podemos tener una solución entera para [math] m \ cdot a = n \ cdot c. [/ Math] Obviamente no puede tener un número no entero de “rebotes” “Así que SOLO podemos considerar soluciones enteras para ‘m’ y ‘n’. Como no hay soluciones enteras si ‘c’ es irracional, la línea nunca llegará a una esquina.

Sabemos lo siguiente si definimos [math] \ theta [/ math] como el grado entre la línea vertical, b, y el rayo que estamos proyectando:

[matemáticas] \ tan (\ theta) = \ frac {c} {b} \ implica b \ cdot \ tan (\ theta) = c [/ matemáticas]

Por lo tanto, tenemos una solución si y solo si [math] b \ cdot \ tan (\ theta) \ in \ mathbb {Q} [/ math].

Answer 2

No estoy seguro de que esto sea cierto.

Suponga que el rectángulo tenía 10 pulgadas de ancho y 5 pulgadas de alto con su ‘esquina’ inferior izquierda en {0, 0} de la recta numérica. Elegiré este punto (0, 0) para que sea el origen de mi rayo, porque eso es realmente de lo que estamos hablando aquí.

Elijo mi primer punto de contacto con la línea superior para estar en (5, 2 ^ (1/2)).

Por favor, dígame cuántas ‘reflexiones’ se necesitarán hasta que mi ‘rayo’ entre en otra esquina, incluso incluyendo (0, 0).

Respetuosamente afirmo que nunca lo hará .

Necesitará algunas otras restricciones para que su conjetura sea verdadera.

Editar: Ahhh, veo que ahora ha restringido el ángulo de incidencia a 45 grados. Con esto, debería ser trivial mostrar que su contención original es verdadera. Creo que puedo demostrarlo, pero esa es la parte divertida y no quisiera arruinar tu diversión. Simplemente elija un rectángulo y comience a trazar los puntos de reflexión. Pronto deberías ver un patrón. Se puede obtener una respuesta muy simple si elige un rectángulo con un ancho y una altura que sean incluso valores numéricos de las unidades que esté utilizando. A partir de eso, deberías poder hacer el caso cuando uno o ambos son un número impar de unidades. Disfrutar. Esto es realmente divertido cuando te metes en ello.

Edición 2: Ok, ahora has cambiado la pregunta, una vez más. Esta vez, el rayo tiene que entrar en una esquina diferente de la que se originó. Casi me he convencido de que esto es cierto. Lo único que se me ocurre es que el rayo regresó a la esquina en la que se originó. Sin embargo, no creo que esto pueda suceder a menos que los rayos entren en otra esquina y, por lo tanto, se reflejen en el camino que acaba de tomar (debido a la limitación del ángulo de 45 grados). Solo iré tan lejos como para decir que sospecho que esto es cierto.

Esta es mi última respuesta a sus continuas ‘ediciones’ de su pregunta. Whack-a-mole nunca fue un juego mío favorito.

Answer 3

Answer 4

Esto no es necesariamente cierto, si la pendiente de la línea fuera irracional, la línea nunca cruzaría exactamente la esquina diagonal sin importar cuántos rebotes forme la línea en los lados horizontal y vertical.