¿Qué es una prueba geométrica (o intuición) de la propiedad de suma / resta del denominador de proporciones?

Answer 1

No estaba familiarizado con esa propiedad de las proporciones. Esta bien.

Aquí hay una propiedad diferente con la que estaba familiarizado: si [matemáticas] \ frac {a} {b} = \ frac {c} {d} [/ matemáticas], entonces [matemáticas] \ frac {a + b} {b} = \ frac {c + d} {d} [/ math].

Esto funciona algebraicamente porque puede dividir el LHS como: [matemáticas] \ frac {a + b} {b} = \ frac {a} {b} + \ frac {b} {b} = \ frac {a} { b} + 1 [/ math], y de manera similar puede dividir el RHS en [math] \ frac {c} {d} + 1 [/ math], sabiendo que [math] \ frac {a} {b} = \ frac {c} {d} [/ math], verificas la igualdad de cada lado.

Eso es simple y alguien intuitivo si está familiarizado con cómo agregar fracciones.

También es intuitivo que si [math] \ frac {a} {b} = \ frac {c} {d} [/ math], entonces [math] \ frac {b} {a} = \ frac {d} {c }[/matemáticas]. Después de todo, solo indica la proporción de una manera diferente, pero es la misma proporción.

¿Qué sucede cuando juntamos los dos?

[matemáticas] \ frac {a} {b} = \ frac {c} {d} \ iff \ frac {b} {a} = \ frac {d} {c} \ iff \ frac {a + b} {a } = \ frac {c + d} {d} \ iff \ frac {a} {a + b} = \ frac {c} {c + d} [/ math]

La primera y tercera [matemáticas] \ iff [/ matemáticas] proviene de la regla recíproca, la segunda de la regla análoga con los numeradores.

Si lo piensa, agrega otra herramienta para su intuición: para cualquier regla que implique proporciones como [matemáticas] \ frac {a} {b} = \ frac {c} {d} \ iff \ frac {a + b} { b} = \ frac {c + d} {d} [/ math], la misma regla también se aplica a los recíprocos.

Answer 2

Es a la vez: intuitivo y simple.

Prueba primero (y no necesita “algo” de álgebra para ello, solo cálculo fraccional simple)

[matemáticas] \ frac {a} {b} = \ frac {c} {d} [/ matemáticas] implica que también los recíprocos son iguales: [matemáticas] \ frac {b} {a} = \ frac {d} { c}. [/ matemáticas]

Ahora mira

[matemáticas] \ frac {a + b} {a} = \ frac {a} {a} + \ frac {b} {a} = 1 + \ frac {b} {a} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] \ frac {c + d} {c} = \ frac {c} {c} + \ frac {d} {c} = 1 + \ frac {d} {c} [/ matemáticas]

y, por lo tanto, [matemática] \ frac {a + b} {a} = \ frac {c + d} {c} [/ matemática] y de ahí la afirmación a través de otra transición a los recíprocos. (He ignorado todos los casos de excepción donde uno de estos números es 0, perdóname por eso).

Intuición:

Imagine que tiene líquidos A, B, C, D de cantidades a, b, c, d resp., De modo que [matemática] a / b = c / d. [/ Matemática]

Pones A y B juntos, e igualmente C y D. Entonces, la concentración de A en la unión de A y B es obviamente la misma que la concentración de C en la unión C de D. Es solo una cuestión de aumentar o disminuir.

Answer 3

Tome un palo y divídalo en dos pedazos eligiendo un punto en algún lugar. Luego, la longitud de la pieza más larga como una fracción de la longitud total de la barra se determina por la relación entre la longitud de la pieza más larga y la longitud de la pieza más corta. Eso me parece intuitivo.