¿Cuál es la respuesta a la siguiente Q (en la descripción)?

Answer 1

Dado el diagrama anterior, encuentre el área de [math] ~ \ triangle \ text {ABD} [/ math].

En [math] ~ \ triangle \ text {BDE} ~ [/ math] y [math] ~ \ triangle \ text {CDE} [/ math],

1. [matemáticas] BE = CE ~ [/ matemáticas] (Dado)
2. [matemáticas] \ angle DEB = \ angle DEC ~ [/ math] ([math] \ porque ED \ perp BE [/ math])
3. [matemáticas] ED ~ [/ matemáticas] es común.

[matemáticas] \ por lo tanto \ triángulo \ texto {BDE} \ simeq \ triángulo \ texto {CDE} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ angle DBE = \ angle DCE = \ textit {x} [/ math]

[matemática] \ implica DB = DC = 7 ~ [/ matemática] (compare [matemática] \ text {cos} \ textit {x} [/ matemática] en ambos [matemática] ~ [/ matemática] [matemática] \ triángulo [/ matemáticas] s)

---

De [math] ~ \ triangle \ text {BDC} [/ math],

[matemática] \ angle ADB = \ angle DBC + \ angle DCB = 2 \ textit {x} ~ [/ math] ([math] \ porque [/ math] propiedad de ángulo exterior)

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En [math] ~ \ triangle \ text {ABD} ~ [/ math] y [math] ~ \ triangle \ text {ABC} [/ math],

1. [math] \ angle ABD = \ angle ACB ~ [/ math] ([math] \ porque [/ math] ambos son iguales a [math] ~ \ textit {x} [/ math])
2. [matemática] \ angle ADB = \ angle ABC ~ [/ math] ([math] \ porque [/ math] ambas son iguales a [math] ~ 2 \ textit {x} [/ math])
3. [matemáticas] \ ángulo A ~ [/ matemáticas] es común.

[matemáticas] \ por lo tanto \ triángulo \ texto {ABD} \ simeq \ triángulo \ texto {ACB} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {AD} {AB} = \ frac {AB} {AC} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {AD} {AB} = \ frac {AB} {AC} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica AB ^ 2 = AD \ veces AC [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica AB ^ 2 = 9 \ veces (9 + 7) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica AB = 12 [/ matemáticas]

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Usando la fórmula de Heron en [math] ~ \ triangle \ text {ABD} [/ math],

obtenemos, [math] \ text {area} (\ triangle \ text {ABD}) = 31.305 [/ math]

Editar: Gracias Amish por corregir el error.

Answer 2

En [math] \ triangle ABC [/ math], la bisectriz [math] \ perp [/ math] de [math] \ overline {BC} [/ math] se cruza [math] \ overline {AC} [/ math] en [matemática] D [/ matemática] y [matemática] \ overline {BD} [/ matemática] biseca [matemática] \ ángulo ABC [/ matemática], donde [matemática] \ overline {AD} = 9 [/ matemática] y [ matemática] \ overline {DC} = 7 [/ matemática]. Encuentre el área de [math] \ triangle ABD [/ math].

Respuesta: [matemáticas] \; Área _ {\ triángulo ABD} = 14 \ sqrt {5} \ aprox31.30495 [/ matemáticas]

Las longitudes y ángulos del problema se pueden definir como en el gráfico.

Usando la ley de los senos:

[matemáticas] \ qquad \ cfrac {s} {\ sin2 \ theta} = \ cfrac {9} {\ sin \ theta}, \ qquad \ cfrac {s} {\ sin \ theta} = \ cfrac {16} {\ sin2 \ theta} [/ math]

[matemáticas] \ qquad s = \ cfrac {9 \ sin2 \ theta} {\ sin \ theta} = \ cfrac {16 \ sin \ theta} {\ sin2 \ theta} [/ math]

[matemáticas] \ qquad s = \ cfrac {9 \ left (2 \ sin \ theta \ cos \ theta \ right)} {\ sin \ theta} = \ cfrac {16 \ sin \ theta} {\ left (2 \ sin \ theta \ cos \ theta \ right)} [/ math]

[math] \ Rightarrow s = 18 \ cos \ theta = \ cfrac {8} {\ cos \ theta} [/ math]

[math] \ Rightarrow \ cos \ theta = \ cfrac {2} {3} \ quad \ Rightarrow \ sin \ theta = \ cfrac {\ sqrt {5}} {3}, \ quad s = 12 [/ math]

[matemáticas] \ Área de la flecha derecha _ {\ triangle ABD} = \ cfrac {1} {2} \ left (7 \ right) \ left (s \ right) \ sin \ theta = \ cfrac {1} {2} \ left ( 7 \ right) \ left (12 \ right) \ left (\ cfrac {\ sqrt {5}} {3} \ right) = 14 \ sqrt {5} [/ math]