Bueno, aquí están las únicas ecuaciones que nos interesan para polar en este problema:
[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2, \ y = r \ sin {\ theta} [/ matemáticas]
Entonces, los sustituimos y obtenemos:
[matemáticas] r ^ 2-4r \ sin {\ theta} + 2 = 0 \ implica r ^ 2-4r \ sin {\ theta} = – 2 [/ matemáticas]
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Ahora vamos a hacer una versión elegante de “completar el cuadrado”. Queremos obtener la ecuación en una forma con:
[matemática] (r-2 \ sin {\ theta}) ^ 2 = r ^ 2-4r \ sin {\ theta} +4 \ sin ^ 2 {\ theta} [/ matemática]
Pero no podemos simplemente sustituir esto desde
[matemáticas] r ^ 2-4r \ sin {\ theta} \ neq r ^ 2-4r \ sin {\ theta} +4 \ sin ^ 2 {\ theta} [/ matemáticas]
Sin embargo,
[matemáticas] r ^ 2-4r \ sin {\ theta} [/ matemáticas]
[matemáticas] = r ^ 2-4r \ sin {\ theta} +4 \ sin ^ 2 {\ theta} – 4 \ sin ^ 2 {\ theta} [/ matemáticas]
[matemáticas] = (r-2 \ sin {\ theta}) ^ 2 – 4 \ sin ^ 2 {\ theta} [/ matemáticas]
Entonces ahora tenemos:
[matemáticas] (r-2 \ sin {\ theta}) ^ 2 – 4 \ sin ^ 2 {\ theta} = -2 [/ matemáticas]
[matemática] \ implica (r-2 \ sin {\ theta}) ^ 2 = 4 \ sin ^ 2 {\ theta} -2 [/ matemática]
[matemáticas] \ implica r-2 \ sin {\ theta} = \ sqrt {4 \ sin ^ 2 {\ theta} -2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ por lo tanto \ boxed {r (\ theta) = \ sqrt {4 \ sin ^ 2 {\ theta} -2} + 2 \ sin {\ theta}} [/ math]