Cómo derivar una ecuación de crecimiento poblacional dP / dt = kP

Connor es, por supuesto, correcto. Pero creo que la pregunta es quizás un poco confusa. Si resuelve la ecuación dP / dt = kP, obtiene P (t) = C * exp (kt) y así es como deriva la forma de la ecuación exponencial ( es decir , demuestre que es correcta).

Es decir, si comienza con el supuesto de que la tasa de cambio de una población es proporcional a la población actual en el tiempo t, entonces resolver matemáticamente la fórmula que le dará su población en el tiempo t es la función exponencial.

Esto es relevante quizás especialmente porque las poblaciones de seres vivos con recursos ilimitados crecerán exponencialmente. Esto se debe a que su crecimiento es proporcional a su población actual (para nosotros los humanos, por lo general, ha estado entre 1% y 3% anual).

Esto también es importante para comprender que estamos en un planeta finito y, por lo tanto, no es factible utilizar los recursos más rápido de lo que se pueden reponer a largo plazo. De nuevo, es solo matemática simple. Pero primero debes hacer la pregunta correcta.

[matemáticas] \ frac {dP} {dt} = kP [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dP} {P} = k * dt [/ matemáticas]

Integra ambos lados

[matemáticas] \ ln (P) = kt + C [/ matemáticas]

[matemáticas] P = e ^ {kt + C} = A * e ^ {kt} [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] A> 0 [/ matemáticas].

EDITAR: Vaya, parece que eso no era lo que estabas preguntando …

Suponga que el tamaño de su población es [matemática] P (t) [/ matemática] en el momento [matemática] t [/ matemática]. La ecuación que está preguntando proviene de la siguiente suposición:

No importa el tamaño de la población, aproximadamente la misma proporción de la población se reproduce y al mismo ritmo.

Eso generalmente no es cierto, pero lo convierte en un modelo muy simple y localmente bastante preciso.

Esa proporción y tasa son las que determinan [matemáticas] k [/ matemáticas]. Si el 10% de la población se reproduce cada año (y [matemáticas] t [/ matemáticas] está en años), entonces [matemáticas] P (t + 1) = P (t) + 0.1 * P (t) [/ matemáticas]

[matemáticas] (P (t + 1) -P (t)) / 1 = 0.1 * P (t) [/ matemáticas]

El lado izquierdo se parece mucho a la definición de la derivada, ¿verdad?

Así que considere un paso de tiempo más pequeño …

El paso 0.5 nos da la siguiente ecuación

[matemáticas] P (t + 1) = P (t + .5) + a * P (t + .5) [/ matemáticas]

[matemáticas] P (t + .5) = P (t) + a * P (t) [/ matemáticas]

y todavía tenemos

[matemáticas] P (t + 1) = P (t) + 0.1 * P (t) [/ matemáticas]

Combina los dos primeros:

[matemáticas] P (t + 1) = (1 + a) ^ 2 * P (t) [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] (1 + a) ^ 2 = 1 + [/ matemáticas] [matemáticas] 0.1 [/ matemáticas]

Y [matemáticas] a = \ sqrt {1.1} -1 [/ matemáticas]

En general, encontramos que

[matemáticas] P (t + 1 / k) = (1 + a_k) * P (t) [/ matemáticas]

[matemáticas] P (t + 1) = (1 + a_k) ^ k * P (t) [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] a_k = (1.1) ^ {1 / k} -1 [/ matemáticas]

Luego, suponiendo que la derivada exista (existe, pero no probaré eso aquí), [matemáticas] \ displaystyle \ frac {dP} {dt} (t) = \ lim_ {k \ to \ infty} \ frac {P (t + 1 / k) -P (t)} {1 / k} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {k \ to \ infty} ((1.1) ^ {1 / k} -1) * k * P (t) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {k \ to \ infty} ((1.1) ^ {1 / k} -1) * k * P (t) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ ln (1.1) * P (t) [/ matemáticas]

En términos más generales, puede reemplazar [matemática] 1.1 [/ matemática] con [matemática] 1 + r [/ matemática] donde [matemática] r [/ matemática] es la proporción de la población que reproduce cada período de tiempo. Entonces obtienes [matemáticas] P ‘(t) = \ ln (1 + r) * P (t) [/ matemáticas]

Piense en la derivada de una función como la velocidad del crecimiento de la función. dP / dt es la velocidad del crecimiento de la población que es proporcional a la población misma, k es constante.

De aquí viene esta ecuación.

La solución de esta ecuación es C * exp (x). C puede determinarse si se da la condición inicial.