Podemos escribir la relación lineal en general como [matemáticas] x_ {n} = a_ {n} x_ {n + 1} + b_ {n} x_ {n-1} [/ matemáticas]
Esto puede escribirse en forma de matriz como
[matemáticas] \ vec {x} = M \ vec {x} [/ matemáticas]
Dónde
- Cómo derivar una ecuación de crecimiento poblacional dP / dt = kP
- Cómo producir una ecuación cuadrática a partir de 3 puntos usando una matriz, o ¿hay un método mejor?
- ¿Cómo resolvería la ecuación [matemáticas] \ sqrt {2 ^ {x}} – \ sqrt {12 ^ {x-2}} = \ sqrt {3 ^ {x-2}} [/ matemáticas]?
- Cómo escribir una ecuación para este problema
- ¿Cómo se deriva la energía para una ecuación de fotones?
[math] \ vec {x} = \ left (\ begin {array} {c} x_1 \\. \\. \\ x_ {N} \ end {array} \ right) [/ math]
y
[matemática] M = \ left (\ begin {array} {cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 &. & 0 \\ b_ {2} & 0 & a_ {2} & 0 &. & 0 \\. &. &. &. &. &. \\ 0 &. & 0 & b_ {N-1} & 0 & a_ {N-1} \\ 0 &. & 0 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right) [/ math]
Por lo tanto, necesitamos encontrar los dos vectores propios de la matriz [matemática] M [/ matemática] con valor propio [matemática] 1 [/ matemática], [matemática] \ vec {v} _1 [/ matemática] y [matemática] \ vec { v} _2 [/ matemáticas]. La solución para [math] \ vec {x} [/ math] es la combinación lineal que satisface las dos condiciones de contorno.
Si [math] a_n [/ math] y [math] b_n [/ math] son constantes que no dependen de [math] n [/ math], esto se vuelve más simple.
Suponga que [math] x_n [/ math] tiene la forma
[matemáticas] x_n = y ^ n [/ matemáticas]
La relación de recursión ahora se lee después de dividir entre [matemáticas] y ^ {n-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] y = ay ^ 2 + b [/ matemáticas]
Por lo tanto, hay dos soluciones
[matemáticas] y _ {\ pm} = \ frac {1 \ pm \ sqrt {1-4ab}} {2a} [/ matemáticas].
Como se trata de una ecuación lineal, la solución general es una combinación lineal de estas dos soluciones:
[matemáticas] x_n = C _ {+} y ^ {n} _ {+} + C _ {-} y ^ {n} _ {-} [/ matemáticas]
Para encontrar [math] C _ {\ pm} [/ math] usa las condiciones de contorno
[matemáticas] x_1 = C _ {+} y _ {+} + C _ {-} y _ {-} [/ matemáticas]
[matemáticas] x_ {N} = C _ {+} y ^ {N} _ {+} + C _ {-} y ^ {N} _ {-} [/ matemáticas]
Ahora tenemos dos ecuaciones lineales en dos incógnitas [matemáticas] (C _ {\ pm}) [/ matemáticas], que se resuelven fácilmente.