¿Cómo resolvería la ecuación [matemáticas] \ sqrt {2 ^ {x}} – \ sqrt {12 ^ {x-2}} = \ sqrt {3 ^ {x-2}} [/ matemáticas]?

Answer 1

¿Cómo resolverías … [matemáticas] \ sqrt {2 ^ x} – \ sqrt {12 ^ {x − 2}} = \ sqrt {3 ^ {x − 2}} [/ matemáticas]? Descubrí la solución correcta (x = 2) bastante rápido, pero haga lo que haga no puedo encontrar ninguna técnica analítica que lo lleve.

Como se ha observado, no todas las ecuaciones admiten un enfoque analítico. Aquí hay un enfoque principalmente analítico para esto, con la excepción de un paso que justificamos con un poco de vago movimiento de manos (“por inspección”). Lo más notable: ese paso funciona SOLO porque la solución a esta ecuación termina siendo un número “agradable”.

Por lo general, el primer paso para buscar un enfoque analítico podría ser al cuadrado de ambos lados (eliminando el radical de la derecha), luego reorganizar para aislar el radical restante y el cuadrado nuevamente. Sin embargo, en este caso podemos ahorrar tiempo (y álgebra) al notar que los radicales se pueden eliminar más fácilmente reescribiendo como

• [matemáticas] 2 ^ {x / 2} −12 ^ {x / 2−1} = 3 ^ {x / 2−1} [/ matemáticas]

Dejando [math] t = x / 2-1 [/ math], tenemos

[matemáticas] \ begin {align *} 2 \ cdot 2 ^ t-12 ^ t & = 3 ^ t \\ 2 \ cdot 2 ^ t-2 ^ {2t} 3 ^ t & = 3 ^ t \\ \ qquad 2 \ cdot 2 ^ t3 ^ {- t} -2 ^ {2t} & = 1 \\ 2u ^ {1-k} -u ^ 2 & = 1 & \ text {where} u = 2 ^ t \ text {y} k = \ log_2 3 \ doteq 1.585 \ end {align *} [/ math]

Es bastante fácil ver (“por inspección”) que [matemática] u = 1 [/ matemática] es una solución a la ecuación final. La derivada del lado izquierdo es [matemática] 2 (1-k) u ^ {- k} -2u [/ matemática], que es negativa para todas [matemática] u> 0 [/ matemática], entonces [matemática] 2u ^ {1-k} -u ^ 2 [/ math] está disminuyendo estrictamente. Esto significa que nuestra solución es única; trabajando hacia atrás, entonces tenemos:

[matemáticas] \ qquad 1 = u = 2 ^ t \ \ implica \ 0 = t = x / 2-1 \ \ implica \ \ boxed {x = 2} [/ math]

Answer 2

Como regla general, las técnicas analíticas solo existen en algunos casos especiales. Así que estás reducido a la intuición o aproximaciones numéricas. Sin embargo, se puede hacer mucho gráficamente al trazar o dibujar gráficos de dos lados de una ecuación para descubrir el número de soluciones y sus ubicaciones aproximadas.

En este caso, puede intentar cuadrar: [matemáticas] 2 ^ x = 3 ^ {x-2} + 12 ^ {x-2} + 2 \ sqrt {12 ^ {x-2} 3 ^ {x-2}} [/matemáticas]. Luego, vuelva al cuadrado: [matemáticas] 4 (12 ^ {x-2} 3 ^ {x-2}) = (2 ^ x – 3 ^ {x-2} – 12 ^ {x-2}) ^ 2 [/ matemáticas].

Esto podría simplificarse a un estado en el que puede resolverlo analíticamente, o puede que no. Pero tenga en cuenta que la cuadratura ha introducido soluciones adicionales que deben probarse mediante sustitución en la ecuación original.

Answer 3

Deje y = (x-2) / 2. Tenga en cuenta que 2 = exp (log (2)), log significa log natural. Sustituya estas dos relaciones en su ecuación para obtener

Eq. 1: 3 ^ y = sech (ylog (2)).

Una solución obvia es y = 0, o x = 2. ¿Hay alguna otra solución real? Si y> 0, 3 ^ y> 1 y sech (ylog (2)) <1, entonces no hay un valor positivo de y que sea una solución para la ecuación. 1. Para y <0, sea y = -z, con z> 0. Sustitución en la ecuación. 1 da

Eq. 2: exp (-z (log (3) + log (2))) + exp (-z (log (3) -log (2))) = 2.

Cada una de las funciones exponenciales en la ecuación. 2 es <1, por lo que ningún valor de z puede satisfacer la ecuación. 2 y no hay valores negativos de y que satisfagan la ecuación. 1)

Para probar si hay un valor imaginario de y que satisface la ecuación. 1, sea y = iz, donde i = (- 1) ^ (1/2). Eq. 1 se convierte

Eq. 3: cos (zlog (3)) + isin (zlog (3)) = sec (zlog (2)).

El único valor de z que satisface la ecuación. 3 es z = 0, por lo que no hay un valor imaginario de y que satisfaga la ecuación. 1)

Dejaré la investigación de posibles valores complejos de y que son soluciones para la ecuación. 1 para el lector. Comience con y = u + iv y separe los resultados reales e imaginarios en dos ecuaciones para u y v. ¡Disfrute!

Answer 4

[matemáticas] \ sqrt {2 ^ x} – \ sqrt {12 ^ {\ left (x-2 \ right)}} = \ sqrt {3 ^ {\ left (x-2 \ right)}} [/ math]

[matemáticas] \ sqrt {2 ^ x} = \ sqrt {3 ^ {\ left (x-2 \ right)}} + \ sqrt {12 ^ {\ left (x-2 \ right)}} [/ math]

[matemáticas] \ sqrt {2 ^ x} = \ sqrt {3 ^ {\ left (x-2 \ right)}} + 2 \ sqrt {3 ^ {\ left (x-2 \ right)}} [/ math ]

[matemáticas] \ frac {\ sqrt {2 ^ x}} {\ sqrt {3 ^ {\ left (x-2 \ right)}}} = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {2 ^ x} {3 ^ {\ izquierda (x-2 \ derecha)}} = 9 [/ matemáticas]

[matemática] \ frac {2 ^ x} {3 ^ {\ izquierda (x-2 \ derecha)}} = 3 ^ 2 [/ matemática]

[matemáticas] 2 ^ x = 3 ^ x [/ matemáticas]

lo que solo puede significar que x es cero.

No estoy seguro de si esto es correcto, pero lo que sea. Al menos hice algo.

Answer 5

La ecuación es [2 ^ x] ^ 0.5 – [12 ^ (x-2)] ^ 0.5 = [3 ^ (x-2)] ^ 0.5.

Deje x-2 = 2m. Entonces la ecuación se puede escribir como

2 ^ (2m + 2) / 2-12 ^ (2m / 2) = 3 ^ (2m / 2), o

2 ^ (m + 1) – 12 ^ m = 3 ^ m, o

2 * 2 ^ m – 12 ^ m = 3 ^ m, o esto es posible cuando

m = 0, entonces

2 * 2 ^ 0 – 12 ^ 0 = 3 ^ 0, o

2 – 1 = 1, o

1 = 1.

Por lo tanto, m = 0, que significa x-2 = 0, o

x = 2. Responder

Answer 6

Esta es una respuesta incompleta … pero espero que algo en los argumentos aquí haga clic en la cabeza de alguien y ayude a resolver este problema analíticamente

reconocerá que 12 = 2 ^ 2 * 3 .. y reescribirá la ecuación como

sqrt (2 ^ x) – [2 ^ (x-2) * sqrt (3 ^ (x-2))] = sqrt (3 ^ (x-2))

reorganizar te da

sqrt (2 ^ x) = (2 ^ (x-2) +1) * sqrt (3 ^ (x-2))

reescribir nuevamente te da

2 * sqrt (2 ^ x-2) = [2 ^ (x-2) +1] * sqrt (3 ^ (x-2))

Dividir el camino con sqrt (3 ^ (x-2)) te da
2 * sqrt (2/3) ^ (x-2) = 2 ^ (x-2) + 1 o

2 * [2/3] ^ (x-2) / 2 – 2 ^ (x-2) – 1 = 0 …
entonces podemos dejar y = 2/3 ^ (x-2) / 2 y eso nos da

2y – 2 ^ (x-2) -1 = 0 … todavía tenemos un poco de desorden con la x, pero podemos relacionar x con y, y obtener

x-2 = 2 log y / log (2/3)

esto implica que 2 ^ (x-2) = 2 ^ 2 log y / log (2/3), una manipulación cuidadosa del logaritmo aquí nos da
2 ^ (x-2) = y ^ (2 * log 2 / log 2/3) elegir log base 2 nos da
2y – y ^ (2 / (1 – log_2 3)) -1 = 0 (tenga en cuenta que (2 / (1 – log_2 3)) puede tratarse solo como un número)

desafortunadamente en este punto, no es algo que resolvamos directamente, pero computacionalmente, podemos trazar valores para y y usar eso para encontrar x … (tenga en cuenta que y = 1 => x = 2 es la única solución de valor real para esta ecuación) , las otras soluciones son complejas

Nota al margen: mientras juego con este problema, noto que con algunas manipulaciones simples podemos obtener 2-6 ^ (x-2) / 2 = (3/2) ^ (x-2) / 2 pero ya pasé más tiempo en esta pregunta que tengo disponible .. tal vez alguien más estaría dispuesto a investigar esta dirección