Voy a suponer que [math] a [/ math] es real, y que el radical se refiere a la raíz cuadrada principal, que puede ser un número real positivo o un número real positivo multiplicado por [math] i [/ math]. (O cero, pero eso daría cero denominadores en este problema).
La regla es que solo los factores positivos pueden entrar y salir de los radicales. Lo estoy deletreando gracioso porque quiero incluir cero.
Mi experiencia en Quora es que muy pocos respondedores manejan correctamente el signo de los radicales en estos problemas de valor principal. Aquí la única pregunta es si importa en este problema. No he echado un vistazo a las otras respuestas porque me gusta responder imparcialmente.
Solo veamos el primer término. Podríamos estar tentados a escribir
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- ¿Cómo resolvería la ecuación [matemáticas] \ sqrt {2 ^ {x}} – \ sqrt {12 ^ {x-2}} = \ sqrt {3 ^ {x-2}} [/ matemáticas]?
- Cómo escribir una ecuación para este problema
[matemáticas] \ sqrt {2a ^ 3} / \ sqrt {8a} = \ sqrt {a ^ 2/4} = a / 2 \ quad [/ matemáticas] INCORRECTO, NO HAGA ESTO
Vamos a resolverlo para [matemáticas] a = -1. [/ Matemáticas]
[matemáticas] \ sqrt {2a ^ 3} = \ sqrt {-2} = i \ sqrt {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sqrt {8 (-1)} = \ sqrt {-8} = i \ sqrt {8} = 2i \ sqrt {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sqrt {2a ^ 3} / \ sqrt {8a} = 1/2 [/ matemáticas]
[matemáticas] a / 2 = -1/2 \ quad [/ matemáticas] NO COMPROBAR
Estuvimos bien hasta el último paso. Eso significa que no violamos la regla hasta entonces. A ver por qué.
[matemáticas] \ dfrac {\ sqrt {2a ^ 3}} {\ sqrt {8a}} = \ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 \ cdot 2a}} {\ sqrt {4 \ cdot 2a}} [/ math]
Solo podemos extraer factores pozitivos de debajo del signo radical. Estamos seguros de que [matemáticas] a ^ 2 [/ matemáticas] es positivo, al igual que 4 [matemáticas]. [/ Matemáticas]
[math] = \ dfrac {\ sqrt {a ^ 2} \ sqrt {2a}} {\ sqrt {4} \ sqrt {2a}} [/ math]
No hay duda [math] \ sqrt {4} = 2. [/ math] Tenemos que preocuparnos por el signo de [math] a, [/ math] entonces [math] \ sqrt {a ^ 2} = | a | . [/ math] Real o imaginario (pero no cero), [math] \ sqrt {2a} [/ math] cancela.
[matemáticas] = \ dfrac {| a |} {2} [/ matemáticas]
El resto no se simplifica realmente. Poniendolo todo junto,
[matemáticas] \ sqrt {2a ^ 3} / \ sqrt {8a} – \ sqrt {2a} = | a | / 2 – \ sqrt {2a} [/ matemáticas]
Técnicamente, esto solo se aplica cuando [math] a \ ne 0. [/ Math]
EDITAR: Olvidé mi propia regla de Quora sobre /. Es que los OP lo usan como la barra de fracción, lo que implica pero omite paréntesis alrededor del numerador y el denominador. Entonces el OP probablemente significó
[matemáticas] \ dfrac {\ sqrt {2a ^ 3}} {\ sqrt {8a} – \ sqrt {2a}} = \ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 \ cdot 2a}} {2 \ sqrt {2a} – \ sqrt {2a}} = \ dfrac {\ sqrt {a ^ 2} \ sqrt {2a}} {\ sqrt {2a}} = | a | [/ math]