¿Qué son las ecuaciones diferenciales en palabras simples?

Answer 1

Entonces una derivada es una tasa de cambio infinitesimal. Por ejemplo, si toma un intervalo de tiempo muy pequeño y ve cómo eso cambia su posición para obtener distancia / tiempo, tiene una velocidad en un corto período de tiempo. Deje que este intervalo de tiempo sea tan pequeño como desee, y puede decir que la velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo.

Ahora a veces es más fácil expresar las cosas en términos de su tasa de cambio que lo que son ellos mismos. Entonces podemos escribir fácilmente cómo su tasa de cambio es igual a otras cosas además de lo que es en sí mismo.

Dado que los derivados son esencialmente tasas de cambio, estas cosas pueden entenderse fácilmente a través de ecuaciones diferenciales.

Por ejemplo, [math] \ frac {dC} {dt} = AC [/ math] (A una constante) es una ecuación diferencial relativamente simple. Esto significa que la velocidad a la que algo cambia es directamente proporcional a lo que es en ese momento.

Solo sabiendo eso, puede predecir que si está disminuyendo (la derivada es negativa), disminuye más lentamente cuanto menos haya. Y si está aumentando (la derivada es positiva), aumenta más rápido cuanto más haya.

De hecho, eso es cierto ya que la solución a esta ecuación diferencial (cuando no se expresa como derivados de la cosa sino que es la cosa misma) es [matemática] C = C_o e ^ {At} [/ matemática] (con [matemática] C_o [/ math] otra constante), una decadencia exponencial clásica o forma de crecimiento.

Otro ejemplo son muchos problemas en los fenómenos de transporte y la biología de sistemas, en los que es fácil decir que algo cambia en función de dos o más cosas al describir su tasa de cambio, pero tendrá que trabajar más para obtener la solución exacta (o no incluso ser capaz de) Un ejemplo clave aquí es explicar todas las formas en que algunas proteínas pueden cambiar su concentración: es fácil escribir una cosa que contribuye positiva o negativamente a la derivada de la concentración de proteína con respecto al tiempo, pero no es tan fácil escribirla a mano. cómo su concentración a lo largo del tiempo será directa (aunque puede intentar indirectamente resolviendo las ecuaciones diferenciales).

Answer 2

Ecuaciones diferenciales :

En palabras simples, son ecuaciones que representan un fenómeno en forma matemática. Aquí el fenómeno cambia con respecto a otro fenómeno.

Ejemplo: aceleración de un automóvil

Para representar esto, necesitamos definir qué velocidad es. La aceleración se define como la tasa de cambio de velocidad con respecto al tiempo. Y la velocidad se define como la tasa de cambio de distancia con respecto al tiempo.

S = dV / dt. (Ecuación que representa la aceleración)

V = ds / dt. (Ecuación que representa la velocidad)

Editar: La aceleración es la tasa de cambio de velocidad. No es velocidad (perdóname)

Answer 3

NO una ecuación diferencial es la función:

[matemáticas] y = 3t + 5 [/ matemáticas]

Debido a que la tasa de cambio [matemática] y ‘= 3 [/ matemática] es constante y no depende del valor de [matemática] y [/ matemática].

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En una ecuación diferencial, el cambio de una variable depende de su altura.

Por ejemplo, una taza de café caliente pierde más energía térmica por minuto que una taza de café tibia. Llamemos [matemática] T (t) [/ matemática] la diferencia de temperatura entre el café y el medio ambiente, considerada con el tiempo. Y supongamos que en cada minuto, la diferencia de temperatura con el medio ambiente disminuye aproximadamente en un 5%.

Entonces podemos decir que:

[matemáticas] T ‘(t) = \ frac {dT} {dt} = -0.05 T (t) \ tag {1} [/ matemáticas]

La solución de [math] (1) [/ math] es una función que decae exponencialmente:

[matemáticas] T (t) = C e ^ {- 0.05 t} [/ matemáticas]

porque su tasa de cambio es entonces

[matemáticas] T ‘(t) = -0.05 C e ^ {- 0.05 t} [/ matemáticas]

para lo cual es que tenemos que:

[matemática] T ‘(t) = -0.05 T (t) [/ matemática]

Answer 4

Las ecuaciones diferenciales se definen como ecuaciones con coeficientes diferenciales, variables dependientes e independientes y variables dependientes con respecto a la variable independiente.

Answer 5

Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función con una o más de sus derivadas.