Supongamos por un momento que las ecuaciones tienen una solución única.
Debe mostrar que cada paso en el proceso de eliminación puede revertirse. En otras palabras, el conjunto final de ecuaciones con solo una variable restante en cada ecuación, es equivalente al sistema original.
Las operaciones elementales de fila, multiplicando una fila por una constante que no sea cero, agregando una fila a otra e intercambiando dos filas, pueden revertirse. El resultado sigue.
Si la solución no existe, finalmente llegará a filas que son contradictorias, como x = 1 yx = 2.
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Si la solución existe pero no es única, el sistema aún puede reducirse a la forma normal escalonada utilizando operaciones de fila elementales, por lo que puede resolver el sistema en términos de parámetros (valores arbitrarios para algunas de las variables).
Pero en todos los casos, el hecho de que las operaciones de filas elementales sean reversibles muestra que cada sistema modificado es equivalente al original.