Cómo resolver esta ecuación: [matemáticas] 7 ^ {2x + 1} -2 (7) ^ {x + 1} = -7 [/ matemáticas]

Answer 1

A2A

[matemáticas] \ begin {align} 7 ^ {2x + 1} -2 (7 ^ {x + 1}) = -7 & \ Leftrightarrow 7 (7 ^ x) ^ 2 -14 (7 ^ x) + 7 = 0 \\ & \ Leftrightarrow (7 ^ x) ^ 2-2 (7 ^ x) + 1 = 0 \\ & \ Leftrightarrow (7 ^ x-1) ^ 2 = 0 \\ & \ Leftrightarrow 7 ^ x-1 = 0 \\ & \ Leftrightarrow 7 ^ x = 1 \ end {align} [/ math]

Entonces, si [math] x \ in \ mathbb R [/ math], ya está

[matemáticas] 7 ^ {2x + 1} -2 (7) ^ {x + 1} = -7 \ Leftrightarrow x = 0 [/ matemáticas]

Si está resolviendo para [math] x \ in \ mathbb C, [/ math]

[matemáticas] 7 ^ {2x + 1} -2 (7 ^ {x + 1}) = -7 \ Leftrightarrow e ^ {x \ ln 7} = e ^ {2ki \ pi)} [/ math]

para algunos [math] k \ in \ mathbb Z [/ math]

Entonces

[matemáticas] 7 ^ {2x + 1} -2 (7 ^ {x + 1}) = -7 \ Leftrightarrow x \ ln 7 = 2ki \ pi [/ matemáticas]

Y tienes infinidad de soluciones de la forma

[matemáticas] x = \ frac {2ki \ pi} {\ ln 7}, k \ in \ mathbb Z [/ matemáticas]

Answer 2

7 ^ (2x + 1) -2 * 7 ^ (x + 1) = -7 ^ 1

Como las bases son iguales en ambos lados, podemos escribirlo como:

(2x + 1) -2 * (x + 1) = – 1

2x + 1–2x-2 = -1

+ 1–2 = -1

-1 = -1

LHS = R.HS

Answer 3

[matemáticas] 7 ^ {2x + 1} – 2 (7) ^ {x + 1} = -7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 7 ^ {2x + 1} – 2 (7) ^ {x + 1} + 7 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 7 (7 ^ {2x} – 2 (7) ^ x + 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 7 ^ {2x} – 2 (7) ^ x + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (7 ^ x – 1) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 7 ^ x – 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 7 ^ x = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] log_7 (7 ^ x) = log_7 (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] xlog_7 (7) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]

Answer 4

* A2A

[matemáticas] 7 ^ {2x + 1} -2 (7) ^ {x + 1} = – 7 \\ 7 (7 ^ x) ^ 2-2 (7) (7 ^ x) + 7 = 0 \\ \ text {Dividng a lo largo de} 7 \ ​​text {produce…} \\ (7 ^ x) ^ 2-2 (7 ^ x) + 1 = 0 \\\ text {Let} y = 7 ^ x \\ y ^ 2-2y + 1 = 0 \\ (y-1) ^ 2 = 0 \\ y = 1 \\ 7 ^ x = 1 \\ 7 ^ x = 7 ^ 0 \\\ boxed {x = 0} \ tag *{}[/matemáticas]

Answer 5

Dado que,

7 ^ (2x + 1) – 2. (7) ^ x + 1 = -7

O bien, 7 ^ (2x) .7 ^ 1 – 2 × 7 ^ x × 7 ^ 1 = -7

O, [(7 ^ x) ^ 2]. 7 – 2 × 7 ^ x × 7 = -7

O (7 ^ x) ^ 2 – 2 × 7 ^ x = -1

O, y ^ 2 – 2y = -1 …… (suponga que 7 ^ x = y)

O , y ^ 2 – 2y + 1 = 0

O, y ^ 2 – 2 × y × 1 + 1 ^ 2 = 0

O, (y – 1) ^ 2 = 0

O, y – 1 = 0

O, y = 1

O, 7 ^ x = 1 …… .. (colocando el valor de y)

O, 7 ^ x = 7 ^ 0

O, x = 0 …… (como sabemos, si las bases son las mismas, entonces los poderes también son los mismos)

Entonces la solución es, x = 0

Vamos a comprobar la respuesta,

Colocando x = 0 en el lado izquierdo,

7 ^ (2.0 +1) – 2 (7) ^ (0 + 1)

= 7 ^ 1 – 2 × 7 ^ 1

= 7 – 14

= -7

= lado derecho

Entonces, el valor de x satisface la ecuación dada.

Entonces, creo que la solución es x = 0 .

Creo que esta solución merece votos positivos.

Answer 6

Resolvamos para [math] x [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle 7 ^ {2 x + 1} – 2 * 7 ^ {x + 1} = 7 \ left (7 ^ x \ right) ^ 2 – 14 * 7 ^ x = -7 [/ math]

Haciendo la sustitución [matemáticas] z = 7 ^ x [/ matemáticas] obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle 7 z ^ 2 – 14 z = -7 [/ matemáticas]

Dividiendo por [matemáticas] 7 [/ matemáticas]:

[matemáticas] z ^ 2 – 2 z = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] z ^ 2 – 2 z + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (z-1) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] z-1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] z = 1 [/ matemáticas]

Sustituyendo de nuevo por [matemáticas] z = 7 ^ x [/ matemáticas]:

[matemáticas] 7 ^ x = 1 [/ matemáticas]

o equivalente

[matemáticas] 7 ^ x = 7 ^ 0 [/ matemáticas]

Al igualar en ambos lados los exponentes de [matemáticas] 7 [/ matemáticas] obtenemos:

[matemáticas] \ en caja {x = 0} [/ matemáticas]

A continuación se muestra un diagrama de la solución real como el punto de intersección de dos curvas (hecho con Mathematica y un poco de Photoshop):

Esa fue la solución realmente valorada. La solución valiosa compleja más general se puede encontrar escribiendo:

[matemática] \ displaystyle 7 ^ x = 1 = e ^ {2 i \ pi n} [/ matemática], con [matemática] n \ in \ mathbb {Z} [/ matemática]

Tomando el logaritmo natural de ambos lados:

[matemáticas] \ displaystyle \ ln (7 ^ x) = \ ln (e ^ {2 i \ pi n}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x \ ln (7) = 2 i \ pi n [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {x = \ frac {2 i \ pi n} {\ ln (7)}, n \ in \ mathbb {Z}} [/ math]

Este problema se puede resolver con Mathematica y la solución real se puede encontrar escribiendo el código:

Resolver [7 ^ (2 x + 1) – 2 7 ^ (x + 1) == -7, x, Reales]

La solución valiosa compleja se puede encontrar escribiendo:

Resolver [7 ^ (2 x + 1) – 2 7 ^ (x + 1) == -7, x]

Answer 7

Primero observe que dividir por 7 convierte la ecuación en:

[matemáticas] 7 ^ {2x} -2 (7) ^ x = -1. [/matemáticas]

Ahora configure [math] t = 7 ^ x [/ math]. La ecuación puede reescribirse en términos de t observando que [matemáticas] 7 ^ {2x} = t ^ 2 [/ matemáticas], por lo que la ecuación es:

[matemáticas] t ^ 2–2t = -1 \ iff t ^ 2–2t + 1 = 0 \ iff (t-1) ^ 2 = 0 \ iff t = 1. [/matemáticas]

Volviendo a x, vemos que:

[matemáticas] 7 ^ x = 1 \ iff x = 0. [/matemáticas]

Answer 8

[matemáticas] 7 ^ {2x + 1} -2 \ cdot 7 ^ {x + 1} = -7 \ iff \ {\ mbox {denote} y = 7 ^ x \} \ iff 7 y ^ 2 – 14 y + 7 = 0 \ iff y ^ 2 – 2y + 1 = 0 \ iff y = 1 \ iff 7 ^ x = 1 \ iff x = 0. [/ Matemática]

Salud.

Answer 9

Dividir por 7 nosotros y reemplazar variables

[matemáticas] 7 ^ {2x} -2 {7} ^ x = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 7 ^ x => y ^ 2-2y = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 1 => 7 ^ x = 1 => x = 0 [/ matemáticas]

Answer 10

La ecuación: 7 ^ (2x + 1) – 2 * 7 ^ (x + 1) = -7 se puede escribir como

7 * 7 ^ 2x -2 * 7 * 7 ^ x + 7 = 0, divide entre 7 para obtener

7 ^ 2x- 2 * 7 ^ x +1 = 0. Deje 7 ^ x = p, luego

p ^ 2 – 2p + 1 = 0, o

(p-1) ^ 2 = 0, o

p-1 = 0, o

p = 1, o

7 ^ x = 1 que significa x = 0.