Cómo resolver la ecuación diferencial que dice log (dy / dx) = 4x-2y-2 cuando y (1) = 1

Answer 1

[matemáticas] log_e (\ dfrac {dy} {dx}) = 4x-2y-2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {dy} {dx} = e ^ {4x-2y-2} [/ matemáticas] ——- (I)

Ahora, suponga que [matemática] 4x-2y-2 = t [/ matemática], luego diferencie con respecto a [matemática] x [/ matemática]:

[matemáticas] 4-2 \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {dt} {dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {dy} {dx} = 2- \ dfrac {1} {2} \ dfrac {dt} {dx} [/ matemáticas] ——- (II)

De (I) y (II), obtenemos

[matemáticas] 2- \ dfrac {1} {2} \ dfrac {dt} {dx} = e ^ t [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {dt} {dx} = 2 (2-e ^ t) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {dt} {2-e ^ t} = 2dx [/ matemáticas]

Integrar ambos lados:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {2-e ^ t} \, dt = 2 \ displaystyle \ int \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {e ^ t} {e ^ t (2-e ^ t)} \, dt = 2 \ displaystyle \ int \, dx [/ math]

Diga [matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {e ^ t} {e ^ t (2-e ^ t)} \, dt [/ math]

Sustituya [matemáticas] z = e ^ t [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] e ^ tdt = dz [/ matemáticas]

Entonces, [matemática] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {z (2-z)} \, dz [/ math]

[matemáticas] \ implica I = \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int \ dfrac {z- (2-z)} {z (2-z)} \, dz [/ math]

[matemáticas] \ implica I = \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int \ dfrac {z- (2-z)} {z (2-z)} \, dz [/ math]

[matemáticas] \ implica I = \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {2-z} \, dz – \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {z} \, dz [/ math]

[matemáticas] = – \ dfrac {1} {2} ln (2-z) – \ dfrac {1} {2} lnz + C_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ dfrac {1} {2} ln [z (2-z)] + C_1 [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {e ^ t} {e ^ t (2-e ^ t)} \, dt = 2 \ displaystyle \ int \, dx [/ math]

[matemáticas] \ implica – \ dfrac {1} {2} ln [e ^ t (2-e ^ t)] + C_1 = 2x + C_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica -ln [e ^ t (2-e ^ t)] = 4x-lnC [/ matemáticas],

donde [matemáticas] lnC = 2C_1-2C_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica e ^ t (2-e ^ t) = Ce ^ {- 4x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica e ^ {4x-2y-2} (2-e ^ {4x-2y-2}) = Ce ^ {- 4x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica e ^ {8x-2y-2} (2-e ^ {4x-2y-2}) = C [/ matemáticas]

[matemática] \ implica (2-e ^ {4x-2y-2}) = Ce ^ {2y-8x + 2} [/ matemática]

[matemáticas] \ implica e ^ {4x-2y-2} + Ce ^ {2y-8x + 2} = 2 [/ matemáticas]

Esta es la solución general.

Usando la condición inicial [matemáticas] y (1) = 1: [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {4-2-2} + Ce ^ {2-8 + 2} = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica C = e ^ 4 [/ matemáticas]

Entonces la solución particular es:

[matemáticas] e ^ {4x-2y-2} + e ^ 4.e ^ {2y-8x + 2} = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica e ^ {4x-2y-2} + e ^ {2y-8x + 6} = 2 [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] \ ln \ frac {dy} {dx} = 4x-2y-2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = e ^ {4x-2y-2} = e ^ {4x-2} e ^ {- 2y}; [/ matemáticas] variable separable

[matemáticas] \ int e ^ {2y} dy = \ int e ^ {4x-2} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 e ^ {2y} = e ^ {4x-2} + C [/ matemáticas]

en x = 1 y = 1

[matemáticas] 2 e ^ 2 = e ^ 2 + C [/ matemáticas]; [matemáticas] C = e ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 e ^ {2y} = e ^ {4x-2} + e ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 3

Lo siento ! ¡No vi esta pregunta!

dy / dx = e ^ (4x-2y-2) = e ^ (4x) * e ^ (- 2y) * e ^ (- 2)

Ahora puede agrupar la función de los términos xy dx juntos y funcionar si los términos yy dy juntos. Debes saber esto. e ^ (- 2) es una constante y no dará muchos problemas. Cuando integra las funciones exponenciales simples, obtendrá la constante de integración, cuyo valor se puede encontrar utilizando la condición dada, es decir y = 1 cuando x = 1.

Luego, simplemente ingrese el valor y allí tendrá su solución particular para la ecuación diferencial ordinaria.

Answer 4

Suponemos que la base del término logarítmico en el LHS es e.

Answer 5

La ecuación dada se puede reescribir como [matemáticas] \; \; \ frac {dy} {dx} = e ^ {4x-2y-2} \ ;. [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] \; \; e ^ {2 y + 2} dy = e ^ {4x} dx \; \; [/ math] que está en forma separable variable y se puede resolver fácilmente. Completa el resto.

La respuesta es [matemáticas] \; \; 2.e ^ {2y + 2} = e ^ {4x} + e ^ {4} \; \; [/matemáticas]