Considera la ecuación
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle 3x + 6y + 5z-7 = 0 \ end {align} \ tag * {} [/ math]
En el espacio 3D, esto representa un plano con el vector normal [matemática] \ widehat {v} (3,6,5) [/ matemática]. Teniendo esto en cuenta, esto es lo que vamos a hacer:
- Encuentra un punto en el plano con coordenadas enteras
- Encuentra dos vectores no paralelos con componentes enteros que se encuentran en el plano
- Exprese cualquier otro punto en el plano con coordenadas enteras como una combinación lineal de estos dos vectores aplicados a nuestro punto de partida
Paso 1
- Cómo usar completar el cuadrado, en general y particularmente para encontrar el vértice, para una parábola / cuadrática con coeficiente negativo x ^ 2
- Cómo determinar la solución restringida a la ecuación de Laplace
- Cómo encontrar las ecuaciones para todas las asíntotas verticales de una función tangente y cotangente
- ¿Podemos aplicar las ecuaciones de ‘Física normal’ (como Masa = Peso / go s = ut + 1 / 2at ^ 2) a las ecuaciones de física cuántica?
- ¿Puede cada curva / línea continua en el mundo real ser modelada por una ecuación, independientemente de su complejidad?
Intentando algunos valores para [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática] encontramos rápidamente el punto [matemática] P (-1,0,2) [/ matemática ] que se encuentra en el plano y tiene coordenadas enteras.
Paso 2
El vector [matemáticas] \ hat {v} (3,6,5) [/ matemáticas] es normal al plano; por lo tanto, cualquier vector paralelo al plano debe ser perpendicular a [math] \ hat {v} [/ math]. Entonces, si [math] \ widehat {w} [/ math] se encuentra en el plano, entonces [math] \ hat {v} \ cdot {\ hat {w}} = 0 [/ math]. Después de algunos intentos (por ejemplo, para ambos vectores [math] \ hat {w_a} [/ math] y [math] \ hat {w_b} [/ math] que se encuentran en el plano, establezca un componente en [math] 0 [/ math ] y elija los otros dos componentes de tal manera que los productos escalares [math] \ hat {w_a} \ cdot {\ hat {v}} [/ math] y [math] \ hat {w_b} \ cdot { \ hat {v}} [/ math] igual a [math] 0 [/ math]) rápidamente obtenemos [math] \ hat {w_a} (5,0, -3) [/ math] y [math] \ hat {w_b} (0,5, -6) [/ matemáticas].
Paso 3
Deje que [math] \ hat {u} (- 1,0,2) [/ math] sea el vector posicional del primer punto que encontramos. Cualquier otro punto con coordenadas enteras (es decir, su vector posicional) se puede expresar como
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ hat {u} + k \ cdot {\ hat {w_a}} + h \ cdot {\ hat {w_a}} \ end {align} \ tag * {} [/ math ]
De ahí la solución
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ begin {cases} x = -1 + 5k \\ y = 5h \\ z = 2-3k-6h \ end {cases} \ end {align} \ tag * {} [/matemáticas]
con [matemáticas] k, h \ en {\ Z ^ 2} [/ matemáticas].