La ecuación diferencial se puede escribir como
[matemáticas] \ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}} = – \ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}} [/ math]
Separe las variables de modo que [matemáticas] u (x, y) = X (x) Y (y) [/ matemáticas]. La ecuación diferencial ahora tiene la forma
[matemáticas] Y (y) \ frac {\ partial ^ {2} X} {\ partial x ^ {2}} = – X (x) \ frac {\ partial ^ {2} Y} {\ parcial y ^ { 2}} [/ matemáticas]
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Divide ambos lados entre [matemáticas] XY [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {1} {X} \ frac {\ partial ^ {2} X} {\ partial x ^ {2}} = – \ frac {1} {Y} \ frac {\ partial ^ {2} Y} {\ parcial y ^ {2}} [/ matemáticas]
Dado que el lado izquierdo depende solo de xy el lado derecho depende solo de y, ambos lados son iguales a una constante – [matemática] k ^ {2} [/ matemática]. Así
[matemática] \ frac {\ parcial ^ {2} X} {\ parcial x ^ {2}} = – k ^ {2} X [/ matemática]
[matemática] \ frac {\ parcial ^ {2} Y} {\ parcial y ^ {2}} = k ^ {2} Y [/ matemática]
La solucion es
[matemáticas] X = A_ {1} \ sin (kx) + A_ {2} \ cos (kx) [/ matemáticas]
[matemáticas] Y = B_ {1} \ sinh (ky) + B_ {2} \ cosh (ky) [/ matemáticas]
Como la ecuación es lineal, la solución general es una superposición sobre todos los valores posibles de k
[matemáticas] u (x, y) = \ int ^ {\ infty} _ {0} dk \ left [A_ {1} (k) \ sin (kx) + A_ {2} (k) \ cos (kx) \ right] \ left [B_ {1} (k) \ sinh (ky) + B_ {2} (k) \ cosh (ky) \ right] [/ math]
Imponer la condición límite para que tengamos
[matemáticas] H (x) = u (x, 0) = \ int ^ {\ infty} _ {0} dk \ left [A_ {1} (k) \ sin (kx) + A_ {2} (k) \ cos (kx) \ right] B_ {2} (k) [/ math] (*)
donde [math] H (x) [/ math] es la función de paso Heaviside (0 para x 1)
Multiplique ambos lados de la ecuación por [math] \ sin (k’x) [/ math] e integre sobre [math] x [/ math] de [math] – \ infty [/ math] a [math] \ infty [ /matemáticas]. El resultado es
[matemáticas] \ frac {1} {k ‘} = \ int ^ {\ infty} _ {0} dk B_ {2} (k) A_ {1} (k) \ pi \ delta \ left (kk’ \ right ) = \ pi B_ {2} (k ‘) A_ {1} (k’) [/ math]
También podemos multiplicar (*) por [math] \ cos (k’x) [/ math] e integrar sobre x
[matemáticas] \ frac {\ pi} {2} \ delta (k ‘) = \ pi B_ {2} (k’) A_ {2} (k ‘) [/ matemáticas]
Por lo tanto
[matemáticas] A_ {1} (k) B_ {2} (k) = \ frac {1} {\ pi k} [/ matemáticas]
[matemáticas] A_ {2} (k) B_ {2} (k) = \ frac {1} {2} \ delta (k) [/ matemáticas]
Volviendo a la definición de [math] u (x, y) [/ math] encontramos que
[matemáticas] u (x, y) = \ int ^ {\ infty} _ {0} dk \ left [\ frac {\ sin (kx)} {\ pi k} + \ frac {\ cos (kx) \ delta (k)} {2} \ right] \ left [\ cosh (ky) + C_ {1} (k) \ sinh (ky) \ right] [/ math]
Si desea como condición adicional (que no especificó) que [matemática] \ lim_ {y \ rightarrow \ infty} u (x, y) = 0 [/ matemática] entonces [matemática] C_ {1} (k ) = – 1 [/ math], y encontramos que
[matemáticas] u (x, y) = \ int ^ {\ infty} _ {0} dk \ left [\ frac {\ sin (kx)} {\ pi k} + \ frac {\ cos (kx) \ delta (k)} {2} \ right] e ^ {- ky} [/ math]
Calculando la integral sobre k encontramos que para y> 0
[matemáticas] u (x, y) = \ frac {1} {\ pi} \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {y} {x} \ right) + \ frac {1} {2} [ /matemáticas]
Editar: aquí hay otra forma más sofisticada de resolverlo.
Digamos que las variables x e y tienen dimensiones de longitud. No hay otra escala de longitud en este problema, por lo que el único objeto no dimensional que los contiene debe tener la forma [math] f \ left (\ frac {x} {y} \ right) [/ math]. Por eso podemos escribir
[matemáticas] u (x, t) = f \ izquierda (\ frac {x} {y} \ derecha) [/ matemáticas]
Las derivadas de u son
[matemáticas] \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} = \ frac {1} {y ^ 2} f ” [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial y ^ 2} = \ frac {\ partial} {\ partial y} [- \ frac {x} {y ^ 2} f ‘] = \ frac { 2x} {y ^ 3} f ‘+ \ frac {x ^ 2} {y ^ 4} f’ ‘[/ matemáticas]
Al escribir la ecuación diferencial en términos de [matemáticas] z = x / y [/ matemáticas] obtenemos
[matemáticas] f ” + 2zf ‘+ z ^ 2f’ ‘= 0 [/ matemáticas]
Las condiciones de contorno se transforman en
[matemáticas] f (\ infty) = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] f (- \ infty) = 0 [/ matemáticas]
Para resolver el ODE en f, defina g = f ‘
[matemáticas] (1 + z ^ 2) \ frac {dg} {dx} = – 2zg [/ matemáticas]
Reorganizando los términos e integrando rendimientos
[matemáticas] \ ln g = -ln (1 + z ^ 2) + C [/ matemáticas]
O equivalente
[matemáticas] g = f ‘= \ frac {A} {1 + z ^ 2} [/ matemáticas]
Integrando obtenemos
[matemáticas] f = A \ tan ^ {- 1} (z) + B [/ matemáticas]
Al establecer las condiciones de contorno obtenemos el resultado requerido.