Cómo usar completar el cuadrado, en general y particularmente para encontrar el vértice, para una parábola / cuadrática con coeficiente negativo x ^ 2

Answer 1

El objetivo de completar el cuadrado es básicamente ver el binomio cuadrado perfecto al que pertenecen [math] ax ^ 2 + bx [/ math]. Con toda honestidad, es mucho más fácil dividir por a y enfocarse en completar el cuadrado enfocándose en [matemáticas] x ^ 2 + (b / a) x [/ matemáticas].

Hacerlo podría verse así:

[matemática] y = -2x ^ 2 + 4x – 22 [/ matemática]

[matemática] y / -2 = x ^ 2 – 2x + 11 [/ matemática] – dividir por a

[matemática] y / -2 = (x ^ 2 – 2x + 1) – 1 + 11 [/ matemática] – encuentre el valor c de un cuadrado perfecto que contenga [matemática] x ^ 2 – 2x [/ matemática] y luego deshaga fuera de los paréntesis para mantener la nueva expresión igual a la línea anterior

[matemáticas] y / -2 = (x – 1) ^ 2 + 10 [/ matemáticas] – reescribe el término entre paréntesis como binomio al cuadrado y combina términos fuera de paréntesis

[matemáticas] y = -2 (x – 1) ^ 2 + 20 [/ matemáticas] – resuelve para y

Ahora tu vértice (x, y) es solo (1,20) dados esos números en forma de vértice que obtuviste al completar el cuadrado

Answer 2

Simplemente factorice [math] a [/ math] mucho del cuadrático y use completar el cuadrado.

Ejemplo:

[matemáticas] f (x) = – 3x ^ 2 + 5x-6 [/ matemáticas]

Factorizar [matemáticas] 3 [/ matemáticas] …

[matemáticas] f (x) = – 3 \ bigg (x ^ 2- \ dfrac {5} {3} x + 2 \ bigg) [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = – 3 \ bigg (x ^ 2- \ dfrac {5} {3} x + \ bigg (- \ dfrac {5} {6} \ bigg) ^ 2- \ bigg (- \ dfrac {5} {6} \ bigg) ^ 2 + 2 \ bigg) [/ math]

[matemáticas] f (x) = – 3 \ bigg [\ bigg (x- \ dfrac {5} {6} \ bigg) ^ 2 + \ dfrac {47} {36} \ bigg] [/ math]

[matemáticas] f (x) = – 3 \ bigg (x- \ dfrac {5} {6} \ bigg) ^ 2- \ dfrac {47} {12} [/ matemáticas]

Entonces, desde aquí, podemos saber que el vértice de la cuadrática es [math] \ bigg (\ dfrac {5} {3}, – \ dfrac {47} {12} \ bigg) [/ math].

Answer 3

Para completar el cuadrado de un cuadrático implica los siguientes procedimientos.

Considere y = -2x ^ 2 + 5x-2

Proceda de la siguiente manera: y = -2 (x ^ 2–5 / 2x + 1) [haga el cuadrático con un positivo x ^ 2]

RHS = -2 [x ^ 2–5 / 2x + (- 5/4) ^ 2] +1 – (- 5/4) ^ 2 [sumar y restar el cuadrado de la mitad de -5/2]

RHS = -2 (x-5/4) ^ 2 -9/16 [se forma el cuadrado]

Entonces, y = -2 (x-5/4) ^ 2 -9/16

El valor máximo de y ocurre cuando -2 (x-5/4) ^ 2 es 0 y es -9/16. Esto sucede cuando x = 5/4. Entonces el punto estacionario está en (5/4, -9 / 16). Y el problema está resuelto.

Answer 4

Para convertir [matemáticas] y = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas] en [matemáticas] y = a (xh) ^ 2 + k [/ matemáticas], [matemáticas] h = \ frac {-b} {2a } [/ math] y [math] k = c-ah ^ 2 [/ math] y estas fórmulas se aplican tanto si a es positivo como negativo. El vértice es [matemática] (h, k) [/ matemática] y las intersecciones x son [matemática] (h \ pm \ sqrt \ frac {-k} {a}, 0) [/ matemática] siempre que k y a son de signos opuestos (si k y a son positivos, el vértice está por encima del eje xy la parábola se abre; si ambos son negativos, el vértice está por debajo y la parábola desciende desde allí; de cualquier manera no hay raíz real )

Answer 5

y = -3x² + 5x + ¼

= -3 {(x²-5x)} + ¼ ……… 【nota cambio de signo】

= -3 {(x-5/2) ²-25/4} + ¼

= -3 (x-2.5) ² + 75/4 + ¼ ……………… 【observe otro cambio de signo】

= 19–3 (x-2.5) ²