Los valores propios de un sistema son equivalentes a los polos de una función de transferencia o disminución de la libertad de un sistema mecánico , representa las características propias de un sistema , es decir, el sistema será estable o inestable y qué respuesta producirá con varios tipos de entrada.
Si considera un sistema de segundo orden con una función de transferencia
[matemáticas] T (s) = \ dfrac {C (s)} {R (s)} = \ dfrac {\ omega ^ {2} _ {n}} {s ^ {2} +2. \ zeta.w_ {n} s + \ omega ^ {2} _ {n}}, [/ math]
Los polos de este sistema son
- ¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial [matemáticas] \ displaystyle {(\ frac {dy} {dx}) ^ 2} + 4y \ frac {dy} {dx} \ tan {x} + 4y ^ 2 \ sec ^ 2 {x} = \ cos ^ 6 {x} + 4y ^ 2 [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es la fórmula para medir el desplazamiento utilizando transductores diferenciales variables lineales?
- ¿Cuál es la integral particular de la ecuación (D ^ 2 +1) Y = xcos (x)?
- ¿Alguien puede resolver esta ecuación diferencial, [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = (y ^ 2-4) \ cos (xe ^ y) [/ matemáticas]?
- ¿Qué es un bloqueo diferencial?
[matemáticas] s_ {1} = – \ omega_ {n}. \ zeta + j \ omega_ {n} \ sqrt {1- \ zeta ^ {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] s_ {2} = – \ omega_ {n}. \ zeta -j \ omega_ {n} \ sqrt {1- \ zeta ^ {2}} [/ matemáticas]
donde [math] \ omega_ {n} [/ math] es la frecuencia de asilación y [math] \ zeta [/ math] es la relación de amortiguamiento, ahora puede ver que si consideramos [math] \ zeta = 1 [/ matemáticas] entonces tendremos, [matemáticas] s_ {1} = – \ omega_ {n}, s_ {2} = – \ omega_ {n} [/ matemáticas]
entonces, para una relación de amortiguamiento unitario, tendremos ambos polos (valores Eigen) del mismo sistema. Esta condición se conoce como la condición amortiguada críticamente amortiguada, si agrega algo de ganancia al sistema en esta condición, la oscilación puede llegar a ser bastante alta y El sistema podría tender a la inestabilidad.
entonces en esta condición la función de transferencia se convierte
[matemáticas] T (s) = \ dfrac {C (s)} {R (s)} = \ dfrac {\ omega ^ {2} _ {n}} {s ^ {2} + 2.w_ {n} s + \ omega ^ {2} _ {n}} = \ dfrac {\ omega ^ {2} _ {n}} {(s + \ omega_ {n}) ^ {2}} [/ math]
entonces los polos en [math] s = – \ omega_ {n}, – \ omega_ {n} [/ math], y este es el diagrama de polo cero del sistema
para que podamos observar que este valor propio o polo o grado de libertad es algo muy importante para determinar la estabilidad de un sistema y la capacidad de control y observabilidad (para un sistema de ecuaciones diferenciales)
así que ahora pasemos a la base de Jordania, teniendo en cuenta algún sistema de ecuaciones diferenciales …
[matemáticas] \ dfrac {dx_ {1} (t)} {dt} = \ dot {x_ {1} (t)} = – x_ {1} (t) + x_ {2} (t) \ cdots (1 )[/matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {dx_ {2} (t)} {dt} = \ dot {x_ {2} (t)} = – x_ {2} (t) + 4u (t) \ cdots (2) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {dx_ {3} (t)} {dt} = \ dot {x_ {3} (t)} = – 2x_ {3} (t) + 3u (t) \ cdots (3) [/ matemáticas]
ahora si escribimos este sistema de ecuaciones en forma de matriz …
[matemáticas] {\ begin {bmatrix} \ dot {x_ {1} (t)} \\ \ dot {x_ {2} (t)} \\\ dot {x_ {3} (t)} \ end {bmatrix }} = \ begin {bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \ end {bmatrix}. {\ begin {bmatrix} x_ {1} (t) \\ x_ {2} (t) \\ x_ {3} (t) \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \ end {bmatrix}} u (t) [/ math]
Llamemos a [math] A = \ begin {bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \ end {bmatrix} [/ math]
y [matemáticas] B = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \ end {bmatrix}} [/ math]
Ahora, si observa que una matriz está en forma de Jordan (dos valores Eigen repetidos en -1,1), y obtuvo dos bloques de Jordan
[matemáticas] A = \ begin {bmatrix} \ fbox {-1} & \ fbox {1} & 0 \\ \ fbox {0} & \ fbox {-1} & 0 \\ 0 & 0 & \ boxed {2 } \\ \ end {bmatrix} [/ math]
entonces los elementos [math] \ {-1 ~~ 1, 0 ~~ -1 \} [/ math] (no sé cómo bloquearlos juntos usando Latex) forman un bloque Jordan y otro bloque es -2 en sí
Ahora, una prueba llamada prueba de Gilbert dice que los elementos de la matriz B que corresponden a la última fila de cada bloque de Jordania no deben ser cero, es decir, entonces el sistema es controlable por el estado
Aquí puede ver que la primera matriz de Jordania es [matemáticas] \ begin {bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \ end {bmatrix} [/ math] y su última fila es [matemáticas] \ {0, – 1 \} [/ math] y el elemento correspondiente de B a esta última fila del bloque jordan es 4, que no es igual a cero, y otro bloque jordan que es 2 tiene un elemento 3 de matriz B correspondiente que también es distinto de cero
entonces podemos decir que este sistema de ecuación de diferencia es controlable por el estado
también podemos determinar que un sistema es observable o no utiliza el mismo método, por lo que puede ver que si tenemos un caso de valores Eigen repetidos, varias características de nuestro sistema pueden cambiar drásticamente y para el análisis de estas características a menudo usamos bloques de Jordan.
para más puedes referir-
(1) Controlabilidad – Wikipedia (2) Observabilidad – Wikipedia (3) Forma normal de Jordan – Wikipedia (4) NPTEL :: Ingeniería eléctrica