En matemáticas nos encontramos con situaciones en las que las formas directas de resolver un problema son difíciles de manejar. Cuando esto sucede, vemos si podemos transformar el problema en uno más fácil, que luego se puede volver a convertir al final para que podamos resolver el problema original.
Una transformación integral es un operador lineal que toma una función y devuelve otra función, y se puede expresar de la siguiente manera
[matemáticas] \ displaystyle (\ mathcal {K} f) (u) = \ int_ {t_1} ^ {t_2} K (u, t) f (t) dt [/ math]
La transformación lineal lleva un espacio de dimensión infinita a otro espacio de dimensión infinita (los espacios de funciones aquí son de dimensión infinita).
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La función de 2 variables [matemática] K (u, t) [/ matemática] se denomina kernal del operador integral.
Este es el análogo directo de la multiplicación de matrices cuando se asigna un espacio vectorial de dimensión finita a otro caso de dimensión finita.
[matemáticas] \ displaystyle (A \ mathbf {x}) _ i = \ sum_ {j = 1} ^ {N} A_ {ij} x_j [/ math]
Uno es continuo y usa una integral, mientras que el otro es discreto y usa una suma.
Algunas transformaciones son particularmente útiles. Las transformadas de Fourier y Laplace convierten derivadas en multiplicación
La transformación de Laplace tiene el núcleo [matemática] K (s, t) = e ^ {- st} [/ matemática] y se integra de cero a infinito. Esto extrae todos los momentos de la función original y construye una nueva función a partir de ellos.
[math] \ displaystyle (\ mathcal {L} f) (s) \ equiv F (s) = \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt [/ math]
La transformada de Fourier es similar en el sentido de que también tiene un núcleo exponencial, excepto que es un valor complejo. En lugar de extraer los momentos de la función, extrae las frecuencias.
[matemáticas] \ displaystyle (\ mathcal {F} f) (\ xi) \ equiv \ hat {f} (\ xi) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- 2 \ pi ix \ xi} f (x) dx [/ matemáticas]
Cualquier transformación integral con un núcleo exponencial se comportará muy bien cuando se diferencie.
[matemáticas] \ displaystyle (\ mathcal {K} (\ frac {df} {dx})) (u) = \ int_ {x_1} ^ {x_2} e ^ {\ alpha ux} \ frac {df} {dx} (x) dx [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = _ {IBP} [e ^ {\ alpha ux} f (x)] _ {x_1} ^ {x_2} – \ alpha u \ int_ {x_1} ^ {x_2} e ^ {\ alpha ux } f (x) dx [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = [e ^ {\ alpha ux} f (x)] _ {x = x_1} ^ {x_2} – \ alpha u (\ mathcal {K} f) (u) [/ math]
Mediante la integración por partes, la derivada se puede mover al otro lado. La derivada de un exponencial es otro exponencial, y terminamos siendo capaces de escribirlo como la transformación original, pero con la derivada convertida en multiplicación por nuestra variable y un término de límite.
Las transformadas de Laplace y Fourier en particular son muy agradables.
[matemáticas] \ displaystyle (\ mathcal {L} (\ frac {df} {dt})) (s) = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} \ frac {df} {dt} (t) dt [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = _ {IBP} [e ^ {- st} f (t)] _ {t_1} ^ {t_2} + s \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f ( t) dt [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = [e ^ {- st} f (t)] _ {t = 0} ^ {\ infty} + s (\ mathcal {L} f) (s) = f (0) + sF ( s) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle (\ mathcal {F} (\ frac {df} {dx})) (\ xi) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- 2 \ pi i \ xi x } \ frac {df} {dx} (x) dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = _ {IBP} [e ^ {- 2 \ pi i \ xi x} f (x)] _ {- \ infty} ^ {\ infty} + 2 \ pi i \ xi \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- 2 \ pi i \ xi x} f (x) dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = [e ^ {- 2 \ pi i \ xi x} f (x)] _ {x = – \ infty} ^ {\ infty} + 2 \ pi i \ xi (\ mathcal {F} f) (\ xi) = 2 \ pi i \ xi \ hat {f} (\ xi) [/ math]
Entonces podemos resolver ciertas ecuaciones diferenciales transformándolas con una transformada de Laplace o de Fourier, resolver un problema de álgebra y luego hacer la transformación inversa apropiada. Con la transformación de Laplace, incluso puede conectar sus condiciones iniciales. Esto lo hace ideal para problemas de valor inicial.
Aquí hay algunos enlaces de Wikipedia para más información.
Transformación integral – Wikipedia
Transformada de Laplace – Wikipedia
Transformada de Fourier – Wikipedia