Para esta respuesta para que la definición ‘coplanar’ tenga más sentido, asumiremos que estamos al menos en un espacio tridimensional de números reales.
2 vectores son colineales si tienen la misma dirección. Significa que solo su magnitud es diferente. Se traduce matemáticamente como:
[math] \ overrightarrow {u} [/ math] y [math] \ overrightarrow {v} [/ math] son [math] collinear [/ math] existe [math] k ∈ ℝ [/ math] tales como [matemáticas] \ overrightarrow {u} = k * \ overrightarrow {v} [/ math]
Ese es un vínculo bastante fuerte entre dos vectores.
- ¿Cómo se puede utilizar la matriz de homografía en la coincidencia de puntos clave?
- ¿Por qué el álgebra lineal es una asignatura difícil para muchos estudiantes?
- ¿Los ejes xey tienen que encontrarse a 90 grados?
- ¿Cómo mostrarías eso: si [math] A = \ begin {bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \ end {bmatrix} [/ math], [math] A ^ n = \ begin {bmatrix} 1 + 2n & -4n \\ n & 1 – 2n \ end {bmatrix} [/ math] para entero n?
- ¿Cuál es la representación matricial del vector laplaciano?
Ejemplo de vectores colineales:
[matemáticas] \ overrightarrow {u} = \ begin {pmatrix} 25 \\ -15 \\ 5 \ end {pmatrix} [/ math]
y
[matemática] \ overrightarrow {v} = \ begin {pmatrix} -5 \\ 3 \\ -1 \ end {pmatrix} [/ math]
con [matemáticas] k = -5 [/ matemáticas]
Para ser coplanares, dos vectores necesitan … bueno … en realidad, 2 vectores son siempre coplanares. ¡Incluso se usa como una forma de definir un avión!
Para 3 o más vectores, ser coplanar significa estar en el mismo plano. Este enlace no es tan fuerte como los vectores que son colineales (es decir: dos vectores colineales son coplanares, pero los vectores coplanares no son necesariamente colineales)
Ahora, ¿cómo puedes saber si 3 vectores son coplanarios?
Intente elegir 2 vectores no colineales de su conjunto (digamos [math] \ overrightarrow {u} [/ math] y [math] \ overrightarrow {v} [/ math]. Una vez que haya verificado que no son colineales, intente escribiendo otro vector, [math] \ overrightarrow {w}, [/ math] de su conjunto como una combinación lineal de los dos anteriores:
Si puede encontrar j, k [matemáticas] ∈ ℝ [/ matemáticas] como [matemáticas] como [/ matemáticas]
[matemática] \ overrightarrow {w} = j * \ overrightarrow {u} + k * \ overrightarrow {v} [/ math]
Significa que tus 3 vectores son coplanarios. Repita con todos los vectores de su conjunto.
Si encuentra al menos uno que no cumple con este requisito, puede decir que sus vectores no son todos coplanares.
Ejemplo de 3 vectores coplanarios:
[matemáticas] \ overrightarrow {u} = \ begin {pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \ end {pmatrix} [/ math]
[matemáticas] \ overrightarrow {v} = \ begin {pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \ end {pmatrix} [/ math]
[matemáticas] \ overrightarrow {w} = \ begin {pmatrix} 5 \\ 1 \\ 12 \ end {pmatrix} [/ math]
Te dejaré encontrar j y k (bastante fácil).
Este proceso para encontrar si 3 vectores son coplanares se explica matemáticamente por el hecho de que al tomar 2 vectores no colineales (y un punto), se construye una base para un plano (como usualmente usamos (O, [matemáticas] \ overrightarrow {i} , \ overrightarrow {j}) [/ math] o [math] (O, \ overrightarrow {u}, \ overrightarrow {v}) [/ math] para bases canónicas bidimensionales), y luego cada vector del avión puede expresarse como una combinación lineal de los vectores de la base.
Ilustración rápida en un espacio de 2 dimensiones (que es un plano):
