Cómo demostrar que la extensión de una lista de vectores es el subespacio más pequeño que contiene cada vector

Answer 1

Dado un conjunto de vectores [matemática] V \ supseteq S = \ {\ vec v_1, \ vec v_2, \ dots, \ vec v_n \} [/ math] tal que [math] V [/ math] es un espacio vectorial sobre un campo [matemática] F [/ matemática], el lapso de [matemática] S [/ matemática] se define por:

[matemáticas] \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn (S) = \ {\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ lambda_ {i} \ vec v_i \ mid \ lambda_ {i} \ en F, \ vec v_i \ en S \} [/ math]

Es decir, [math] \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn (S) [/ math] es el conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de elementos es [math] S [/ math]. OK, eso es bueno, pero ¿cómo podemos usar eso? Hagamos esto para obtener ambos, un amor incondicional por [math] \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn (S) [/ math] y una idea de cómo funciona.

---

Anteriormente, nosotros (no realmente, era solo yo) dijimos que [math] S [/ math] debe ser un subconjunto de algún espacio vectorial [math] V [/ math] sobre un campo [math] F [/ math]. Digamos que elegimos el campo [math] \ R [/ math] y el espacio vectorial [math] \ R ^ 2 [/ math] con las operaciones habituales. Como [math] \ R ^ 2 [/ math] es el conjunto de todas las posibles [math] 2 [/ math] -tuplas de números reales, podemos representarlo gráficamente así:

Y ahi tienes! El plano de coordenadas. Cada punto aquí representa un elemento de [matemáticas] \ R ^ 2 [/ matemáticas], simplemente elige cualquier Número real de cada línea de números reales para obtener un par y la ubicación de un punto. Elegiré uno al azar (no realmente):

[matemáticas] \ vec a = (3 \, \, 2) [/ matemáticas]

No estoy usando vectores de columna aquí porque he terminado de escribirlos en LaTex. En nuestra representación gráfica, [math] \ vec a [/ math] “se vería” así:

Estoy atrapado con Microsoft Paint, de nuevo. Realmente, ¡necesito un software especializado con urgencia!

De vuelta a [math] \ vec a [/ math], se ve bastante bien para mí. Ahora, imagine [matemáticas] S = \ {\ vec a \} [/ matemáticas]. ¿Qué sería [math] \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn (S) [/ math]? Después de mirar la definición de [math] \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn [/ math] durante unos minutos, escribimos:

[matemáticas] \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn (S) = \ {\ sum_ {i = 1} ^ {1} \ lambda \ vec a \ mid \ lambda \ in \ R \ land \ vec a \ en S \} = \ {\ lambda \ vec a \ mid \ lambda \ in \ R \ land \ vec a \ in S \} [/ math]

Un conjunto que contiene [math] \ lambda \ vec a [/ math], para todos los valores reales posibles de [math] \ lambda [/ math]. Solo un escalar multiplicado por [math] (3 \, \, 2) [/ math]. Nada que temer. ¿”Escalar” un vector cambia su “dirección”, su “longitud” o ambos? Me refiero, por supuesto, a la representación gráfica de vectores dentro de [math] \ R ^ 2 [/ math]. Ver este:

Me tomó un tiempo dibujar, así que tómate un minuto y disfruta de cómo realmente estoy dominando esto.

Así es, solo cambia su “longitud”, por lo que todo describe una línea en [math] \ R ^ 2 [/ math]. Con [math] \ vec a = (3 \, \, 2) \ in \ R ^ 2 [/ math] y [math] S = \ {\ vec a \} \ subset \ R ^ 2 [/ math], [matemáticas] \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn (S) \ equiv \ {(x, f (x)) \ mid x \ in \ R \ land f (x) = \ frac {2} {3 } x \} [/ matemáticas].

Si [math] \ imath = (1 \, 0) [/ math] y [math] \ jmath = (0 \, 1) [/ math], entonces qué es [math] \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn (\ {\ imath, \ jmath \}) [/ math]? Esta pregunta demasiado trivial se deja como un ejercicio para el lector …

---

Para continuar, necesitamos saber qué es un subespacio lineal. Permítanme descartar la definición en la forma formal aparentemente sombría y luego explicaré. Lo prometo.

Dado un espacio vectorial [matemática] V [/ matemática] sobre un campo [matemática] F [/ matemática], [matemática] S \ subseteq V [/ matemática] es un subespacio lineal si y solo si:

1. [matemática] \ vec 0 \ en S [/ matemática] (que se define como el elemento de [matemática] V [/ matemática] tal que [matemática] \ forall \ vec v \ en V: v + 0 = v [ /matemáticas])
2. [matemáticas] \ vec a, \ vec b \ en S \ implica \ vec a + \ vec b \ en S [/ matemáticas]
3. [matemáticas] (\ lambda \ en F \ tierra \ vec a \ en S) \ implica \ lambda \ vec a \ en S [/ matemáticas]

Eso son muchos símbolos. Traduciré las declaraciones a una explicación “legible” en inglés (en realidad, la forma matemática es mucho más genial).

1. Un subespacio debe contener el vector cero. Un vector cero es un elemento de un espacio vectorial generalmente simbolizado por [math] \ vec 0 [/ math] de modo que para cualquier elemento [math] \ vec a [/ math] en el espacio vectorial, [math] \ vec a + \ vec 0 = \ vec a [/ matemáticas]. Tales cosas reciben el nombre de identidad aditiva .
2. Esta condición se llama “cierre bajo adición de vectores”. Significa que si agrega dos elementos del subespacio, el resultado también será un elemento del subespacio. No importa cuántos elementos del subespacio agregue, terminará con un elemento del mismo subespacio. Es decir, si [math] \ vec a [/ math] y [math] \ vec b [/ math] están en el subespacio, entonces [math] \ vec a + \ vec b [/ math].
3. Esta condición recibe otro nombre agradable: “cierre bajo multiplicación escalar”. Recuerde que el subespacio es un subconjunto de un espacio vectorial sobre un campo. La condición establece que si multiplica un elemento de ese campo por un elemento del subespacio, debe terminar con otro elemento del subespacio. Entonces, si [math] \ lambda [/ math] es un escalar y [math] \ vec a [/ math] es un elemento del subespacio, entonces [math] \ lambda \ vec a [/ math] también es un elemento del subespacio.

¡Hora de preguntar! ¿Es [math] \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn (S) [/ math] siempre un subespacio, sin importar cuál [math] S [/ math] [math] \ in V [/ math]? Debemos verificar esto antes de intentar probar lo que pide su pregunta. Nuevamente, tiene un espacio vectorial [matemática] V [/ matemática] sobre un campo [matemática] F [/ matemática] y [matemática] V \ supseteq S = \ {\ vec v_1, \ vec v_2, \ dots, \ vec v_n \} [/ matemáticas]. [math] S [/ math] tiene como elementos:

[matemáticas] \ lambda_ {1} \ vec v_1 + \ lambda_ {2} \ vec v_2 + \ dots + \ lambda_ {n} \ vec v_n [/ matemáticas]

Para todos los valores posibles de [math] \ lambda_ {1} [/ math], [math] \ lambda_ {2} [/ math], [math] \ dots [/ math], [math] \ lambda_ {n} [ /matemáticas]. Eso significa que puedo establecer los coeficientes [math] \ lambda_i [/ ​​math] en cualquier elemento de [math] F [/ math] que me guste y tener un elemento de [math] \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn ( S) [/ matemáticas]. Establezca [math] \ lambda_ {1} = \ lambda_ {2} = \ dots = \ lambda_ {n} = 0 [/ math], donde [math] 0 [/ math] es la identidad aditiva (que, por definición, es un elemento de [matemáticas] F [/ matemáticas]). Al establecer todos los coeficientes a cero, la suma total de elementos de [math] S [/ math] es igual a cero:

[matemática] 0 \ vec v_1 + 0 \ vec v_2 + \ puntos + 0 \ vec v_n = 0 [/ matemática]

Si lo duda, esto puede probarse de manera bastante trivial a partir de los Axiomas de campo y los Axiomas del espacio vectorial. Por lo tanto, [math] 0 \ in \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn (S) [/ math] y se cumple la primera condición. El cierre con adición de vectores y el cierre con multiplicación escalar también se satisfacen de manera bastante trivial. Para el primero, establezca todos los coeficientes en cero, excepto los de los vectores que desea agregar, que establecerá en [matemática] 1 [/ matemática], siendo la identidad multiplicativa. Imagine que desea agregar [math] \ vec v_1 [/ math] y [math] \ vec v_2 [/ math]:

[matemáticas] 1 \ vec v_1 + 1 \ vec v_2 + 0 \ vec v_3 + 0 \ vec v_4 + \ dots + 0 \ vec v_n = \ vec v_1 + \ vec v_2 [/ math]

Segunda condición satisfecha! Uno más para ir. Establezca todos los coeficientes en cero, excepto uno. Digamos que uno es el que multiplica [math] \ vec v_1 [/ math]:

[matemáticas] \ lambda_ {1} \ vec v_1 + 0 \ vec v_2 + 0 \ vec v_3 + \ dots + 0 \ vec v_n = \ lambda_ {1} \ vec v_1 [/ math]

Y [math] \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn (S) [/ math] se cierra bajo multiplicación escalar. Como se cumplen las tres condiciones, [math] \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn (S) [/ math] es un subespacio lineal para lo que sea [math] S \ en V [/ math] que desee.

Ahora, a tu pregunta real.

---

Esto se está volviendo repetitivo. Pero debo escribir esto de nuevo. Imagine que tiene un espacio vectorial [matemático] V [/ matemático] sobre un campo [matemático] F [/ matemático] y un subespacio lineal [matemático] S \ subseteq V [/ matemático]. Además, tiene una lista de vectores [math] L = \ {\ vec v_1, \ vec v_2, \ dots, \ vec v_n \} [/ math] que están todos en el subespacio [math] S [/ math]. Es decir, [matemáticas] S \ supseteq L [/ matemáticas]. Voy a hacer esta afirmación salvaje ahora: dado lo anterior y la definición de un subespacio lineal, [math] \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn (L) \ subseteq S [/ math]. Puedo proceder a probar mi reclamo extraordinario.

El vector cero es un elemento de ambos, [math] \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn (L) [/ math] y [math] S [/ math]. Como los elementos de [math] L [/ math] están en [math] S [/ math] y [math] S [/ math] se cierra además, cualquier suma de cualquier número de vectores en [math] L [/ math] ] también está en [math] S [/ math], porque el cierre bajo la suma significa que terminas con un elemento del subespacio si agregas dos elementos del subespacio:

[matemáticas] \ vec v_1 + \ vec v_2 + \ dots + \ vec v_n \ in \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn (L) [/ math]

[matemáticas] \ vec v_1 + \ vec v_2 + \ puntos + \ vec v_n \ en S [/ matemáticas]

De manera similar, puede multiplicar cualquier elemento de [matemáticas] L [/ matemáticas] (recuerde que los elementos de [matemáticas] L [/ matemáticas] también son elementos de [matemáticas] S [/ matemáticas]) por un escalar y terminar con un elemento de [math] S [/ math] (y un elemento de [math] \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn (L) [/ math]) porque un subespacio está cerrado bajo multiplicación escalar. Entonces, si [math] \ lambda [/ math] es un escalar:

[matemáticas] \ lambda \ vec v_i \ in \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn (L) [/ math]

[matemáticas] \ lambda \ vec v_i \ en S [/ matemáticas]

Con [math] 1 \ leq i \ leq n [/ math]. Y ahora viene la parte más increíble. Para todos los escalares posibles [matemática] \ lambda_ {i} [/ matemática] ([matemática] 1 \ leq i \ leq n [/ matemática]):

[matemáticas] \ lambda_ {1} \ vec v_1 + \ lambda_ {2} \ vec v_2 + \ dots + \ lambda_ {n} \ vec v_n \ in \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn (L) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lambda_ {1} \ vec v_1 + \ lambda_ {2} \ vec v_2 + \ dots + \ lambda_ {n} \ vec v_n \ en S [/ matemáticas]

¿Pero por qué? Bueno, en cada término hay un escalar multiplicado por un elemento de [math] L [/ math] (y, en consecuencia, de [math] S [/ math] y [math] \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn (L) [/ math]), entonces, debido al cierre bajo multiplicación escalar, cada término es un vector en [math] S [/ math] y [math] \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn (L) [/matemáticas]. De manera similar, debido al cierre bajo la suma de vectores, la suma de todos los términos (que son elementos de [math] S [/ math]) también es un elemento de [math] S [/ math]. Conclusión: para cada subespacio [matemático] S [/ matemático] de un espacio vectorial [matemático] V [/ matemático] sobre un campo [matemático] F [/ matemático], dada cualquier lista (conjunto) de vectores [matemático] L \ subseq S [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ DeclareMathOperator {\ spn} {span} \ spn (L) \ subseteq S [/ math]

Por lo tanto, el lapso de [math] L [/ math] es el subespacio más pequeño que contiene todos los elementos de [math] L [/ math].

¡Hecho! ¿No fue lindo?

Answer 2

Voy a ampliar la respuesta de Senia Sheydvassers.

Suponga que tiene una familia de vectores [matemática] T = [/ matemática] [matemática] (v_i) _ {i \ en I} \ en V [/ matemática] con [matemática] I [/ matemática] como un índice.

Lo habitual que debe hacer ahora es demostrar que una intersección de espacios subvectores es un espacio subvector nuevamente.

Entonces, [math] (W_j) _ {j \ in J} \ subset V [/ math] sean espacios de subvectores.

Luego miramos a modo de ejemplo

[matemáticas] \ displaystyle 0 \ en W_j \, \ forall j \ en J \ Rightarrow 0 \ in \ bigcap_ {j \ in J} W_j [/ math]

y [math] \ displaystyle [/ math] [math] x, y \ in \ bigcap_ {j \ in J} W_j [/ math]

[math] \ Rightarrow x, y \ en W_j \, \ forall j \ en J [/ math]

[math] \ Rightarrow x + y \ en W_j [/ math]

[math] \ Rightarrow x + y \ in \ bigcap_ {j \ in J} W_j [/ math]

Funciona exactamente igual para la multiplicación escalar con [math] \ lambda \ en K. [/ math]

Con esto se justifica nuestra siguiente definición de span:

[matemáticas] \ displaystyle Span \ left ((v_i) _ {i \ in I} \ right) = \ bigcap_ {j \ in J} W_j [/ math] con [math] (v_i) _ {i \ in I} \ subconjunto W_j \, \ forall j \ en J [/ math]

Esto es único como subconjunto de [math] V. [/ Math]

Y siempre que tenga esto (una construcción muy estándar), la jerga es hablar de la estructura ‘más pequeña’ que contiene algo.

Otra construcción habitual es:

[matemáticas] \ displaystyle Span ^ * \ left ((v_i) _ {i \ in I} \ right) = [/ math]

[math] \ displaystyle \ bigl \ {[/ math] [math] \ sum_ {k = 1} ^ nv_k: n \ in \ mathbb {N}, v_k \ in T \ bigr \} [/ math]

La equivalencia de ambas definiciones es bastante trivial.

[math] Span ^ * (T) [/ math] es un espacio vectorial que contiene todos los [math] v_i [/ ​​math] ya que contiene [math] Span (T) [/ math] por definición de intersección.

[matemática] Span (T) \ subconjunto Span ^ * (T) [/ math]

Pero todos los elementos de [math] Span ^ * (T) [/ math] están por definición contenidos en un subvector que contiene todos [math] v_i [/ ​​math]. Por lo tanto, [matemática] Span ^ * (T) \ subconjunto Span (T) [/ math]

Entonces obtenemos [matemáticas] Span \ left ((v_i) _ {i \ in I} \ right) = Span ^ * \ left ((v_i) _ {i \ in I} \ right) [/ math]

Answer 3

Esa es la definición del período, o, si lo desea, tan cerca de la definición del período que si escribe todas las definiciones, la prueba es evidente.