¿Qué hace una matriz jacobiana geométricamente?

Answer 1

Imagine una transformación no lineal [matemática] f: [/ matemática] [matemática] \ mathbb {R ^ 2} \ mapsto \ mathbb {R ^ 2} [/ matemática] que deforma el espacio de su manera favorita, ahora elija un vector [math] x [/ math] si lo miras desde “lo suficientemente cerca”, la vecindad de [math] x [/ math] después de la transformación es “muy similar” a la misma vecindad después de una transformación lineal con origen en [matemática] x [/ matemática] (afirmo todo esto de manera similar a “Si miras una curva lo suficientemente cerca, se verá como una línea; una transformación lineal”), así que después de notar que tú, el matemático, emprenda una búsqueda para formalizar esto y encontrar esta transformación lineal; el resultado es el jacobiano de la transformación en [math] x [/ math]. Entonces, si elige un punto [matemática] w [/ matemática] realmente cerca de [matemática] x [/ matemática], la aplicación de [matemática] J_f (x) [/ matemática] a [matemática] wx [/ matemática] es “como cierra como quieras “a [matemáticas] f (wx) [/ matemáticas],