¿Es preciso describir ecuaciones polinómicas como producto de ecuaciones lineales?

Answer 1

Creo que te refieres a “expresiones” en lugar de “ecuaciones”.

Los polinomios con coeficientes reales son expresiones que son la suma de uno o más términos de la forma [math] ax ^ n [/ math], donde [math] a \ in \ mathbb {R} [/ math] y [math] n \ in \ mathbb {N} \ cup \ {0 \} [/ math]. Llamamos al mayor valor de [math] n [/ math] en un polinomio particular el orden del polinomio. Si el polinomio tiene orden 1, lo llamamos lineal . Si el orden es 2, lo llamamos cuadrático , orden 3 cúbico , etc. Si un valor particular de [math] x [/ math] hace que un polinomio tome el valor cero, llamaremos a ese valor una raíz del polinomio. Un polinomio de orden [matemáticas] N [/ matemáticas] en general tiene raíces [matemáticas] N [/ matemáticas], sin embargo, no todas las raíces son necesariamente reales: para algunos polinomios, algunas o todas sus raíces son números complejos.

Ahora para abordar su pregunta: un polinomio con coeficientes reales se puede escribir como el producto de polinomios lineales con coeficientes reales si y solo si todas las raíces del polinomio son reales.

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Tenga en cuenta que un polinomio con coeficientes reales o complejos siempre se puede escribir como el producto de polinomios lineales con coeficientes complejos. De hecho, ser capaz de hacer esto fue la motivación principal para definir y desarrollar la noción de números complejos en primer lugar.

Answer 2

No necesariamente. ¿Cómo describirías [matemáticas] x ^ 2 + 1 [/ matemáticas] como un producto de ecuaciones lineales? Quiero decir, supongo que si quieres incluir ecuaciones lineales no reales, puedes hacerlo, pero dudo que tengas intención de hacerlo.