¿Qué pasaría si quisiera hablar sobre algunos tipos de funciones y no sobre otros tipos de funciones que tenían ciertos tipos de propiedades?
Tomemos un campo, voy a usar [math] \ mathbb {R} [/ math]
entonces tenemos un espacio vectorial con cierto número de dimensiones. norte
[matemáticas] \ mathbb {R} ^ {n} [/ matemáticas]
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ahora introducimos una norma sobre los vectores, generalmente pensamos.
[matemáticas] || x || _ {2} = (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}) ^ {\ frac {1 } {2}} [/ matemáticas]
Esta es la norma euclidiana.
Ahora, dejemos ir al infinito.
Ahora estos vectores son funciones. Hay un mapeo entre los números naturales y las entradas de vectores.
Para que estos vectores tengan normas, la norma tiene la existencia.
Estas funciones forman un espacio de Hilbert.
Se llama el espacio [matemáticas] L ^ {2} [/ matemáticas]
¿Qué pasaría si quisiéramos hablar sobre algunas funciones derivadas que satisfagan algunas condiciones?
Bueno, este espacio va a ser un subespacio del espacio [matemático] L ^ {2} [/ matemático] en algunas condiciones y es un espacio de Hilbert
Deje que [math] W ^ {k, p} [/ math] consista en todas las funciones cuyas derivadas satisfacen esta condición, si [math] (a, b) \ in \ mathbb {R} [/ math] define [math] W ^ {k, p} ((a, b)) [/ math] es un espacio para la función [math] f: (a, b) \ to \ mathbb {R} st [/ math] sus derivadas son un orden menor o igual que k y pertenece a [matemáticas] L ^ {p} ((a, b)) [/ matemáticas]
dado [matemáticas] || f || _ {W ^ {k, p}} = \ left (\ sum_ {j = 0} ^ {k} \ int_ {a} ^ {b} | f ^ {j} ( x) | ^ {p} \, dx \ right) ^ {\ frac {1} {p}} [/ math]
entonces este es un espacio de Hilbert cuando
[matemáticas] p = 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] || f || _ {W ^ {k, 2}} = \ left (\ sum_ {j = 0} ^ {k} \ int_ {a} ^ {b} | f ^ {j} (x ) | ^ {2} \, dx \ right) ^ {\ frac {1} {2}} [/ math]
Los espacios de Hilbert son análogos a la métrica de distancia que usamos, pero las matrices son infinitas, por lo que podemos hablar sobre los operadores de manera más general y las clases de cosas de una manera más fácil.