¿Cuál es el rango de una matriz y cómo se usa para encontrar si un sistema es consistente?

Answer 1

El rango de una matriz se puede reformular de muchas maneras. Una forma es decir que el rango de una matriz es que teniendo en cuenta cada subconjunto de los vectores que constituyen la matriz (dependiendo de la convención, esto puede ser las filas / columnas, ya que resulta que el rango de fila = rango de columna (ya que se puede mostrar fácilmente el rango de una matriz y su transposición es igual), aunque siempre usaría las filas de la matriz sin otras restricciones) para encontrar el subconjunto con el mayor número de vectores linealmente independientes. Este será el rango de la matriz. Dada una matriz mxn, si suponemos que m es al menos grande como n, entonces el rango de la matriz será como máximo ny al menos cero. El teorema de nulidad de rango dice que el rango de la matriz + la dimensión de su núcleo (la dimensión del espacio atravesado por vectores de tal manera que cuando son golpeados por la matriz, la salida es el vector cero) es n.

Se puede encontrar que un sistema es consistente considerando la matriz aumentada y si su rango es al menos tan grande como el rango de la matriz de coeficientes (a veces escrito como A | B para la matriz aumentada y A para la matriz de coeficientes), entonces el sistema es consistente.

También podemos formular el rango de la matriz en muchas otras formas equivalentes, y este es un hecho muy útil, ya que las diferentes formulaciones tienen sentido en diferentes interpretaciones (algebraicas / geométricas / topológicas, etc.), pero aquí en la perspectiva de un sistema De ecuaciones he elegido el enfoque de independencia lineal, ya que parece ser el más simple para este contexto.

Answer 2

El rango de una matriz [math] A \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times n} [/ math] es la dimensión del espacio de columna [math] \ mathcal {C} (A) \ subseteq \ mathbb { R} ^ m [/ matemáticas].

Si [math] x \ in \ mathbb {R} ^ n [/ math], entonces [math] Ax [/ math] es la combinación de columnas de [math] A [/ math]. Por ejemplo, si [matemáticas] A = \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} [/ math], [math] x = \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix } [/ math], entonces uno tiene

[matemáticas] Ax = x_1 \ begin {bmatrix} a \\ c \ end {bmatrix} + x_2 \ begin {bmatrix} b \\ d \ end {bmatrix} [/ math]

Como [math] Ax [/ math] es la combinación de columnas de [math] A [/ math] y el espacio de la columna [math] \ mathcal {C} (A) [/ math] es el subespacio que contiene combinaciones de columnas de [matemática] A [/ matemática], el sistema de ecuaciones [matemática] Ax = b [/ matemática], [matemática] b \ in \ mathbb {R} ^ m [/ matemática], tiene una solución precisamente cuando [matemática] b [/ math] está en el espacio de la columna de [math] A [/ math].

Si el rango de [math] A [/ math] es [math] m [/ math], entonces [math] \ mathcal {C} (A) = \ mathbb {R} ^ m [/ math]. Por lo tanto, [math] b \ in \ mathcal {C} (A) [/ math] por cada [math] b [/ math] y [math] Ax = b [/ math] siempre es consistente. Por otro lado, si el rango de [math] A [/ math] es menor que [math] m [/ math], entonces [math] \ mathcal {C} (A) \ subset \ mathbb {R} ^ m [/matemáticas]. En otras palabras, [math] \ mathcal {C} (A) [/ math] es un hiperplano en [math] \ mathbb {R} ^ m [/ math] con una dimensión inferior a [math] m [/ math ] Por lo tanto, [math] b \ in \ mathcal {C} (A) [/ math] o [math] b \ notin \ mathcal {C} (A) [/ math]. Si [math] b \ in \ mathcal {C} (A) [/ math], el sistema de ecuaciones [math] Ax = b [/ math] es consistente. Si [math] b \ notin \ mathcal {C} (A) [/ math], entonces el sistema de ecuaciones es inconsistente.

Answer 3

En primer lugar, el rango de una matriz es básicamente la dimensión del espacio vectorial generado por sus columnas o sus filas, es decir, es el número de vectores linealmente independientes de la matriz. O también, puede definirlo como el número de filas distintas de cero (columnas respectivamente) después de que la fila reduzca (respectivamente, la columna reduzca) la matriz.

Ahora, si tiene un sistema, formado por A, una matriz mxn y b un vector nx 1. Ab sería la matriz aumentada (Agregamos el vector b a A). El sistema es consistente si y solo si, el rango de A es igual al rango de Ab.

Answer 4

considere det (A) como un determinante de la matriz A (3 × 3)
si det (A)! = 0, entonces el rango de A es 3

si, det (A) == 0, entonces rango (A) <3

luego, encuentre el det de los cofactores.
si, det (cualquier cofactor) == 0;
entonces, rango = 2, de lo contrario 1