¿Cuál es el área de un triángulo representado por el vector [matemáticas] 3i + 4j [/ matemáticas] y [matemáticas] -5i + 7j [/ matemáticas]?

Aunque parece más difícil considerar sus dos vectores en tres dimensiones, existe una técnica poderosa para encontrar el área de un paralelogramo formado por dos vectores que funciona solo en 3D: el producto cruzado. Esto es útil para su pregunta, porque su triángulo es exactamente la mitad del paralelogramo.

Entonces, en 3D, sus vectores son:

[matemáticas] ~~~~~ \ vec {u} = \ langle 3, 4, 0 \ rangle [/ math] y [math] \ vec {v} = \ langle -5, 7, 0 \ rangle [/ math ]

El área del paralelogramo formado por estos dos vectores es la magnitud del producto cruzado [math] \ vec {u} \ times \ vec {v} [/ math]. El área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo, por lo que la respuesta a su pregunta es

[matemáticas] ~~~~~ \ dfrac {1} {2} ~ \ left | ~ \ langle 3, 4, 0 \ rangle \ times \ langle -5, 7, 0 \ rangle ~ \ right | [/ math]

¡Así que encontremos el producto cruzado! El producto cruzado se define como el determinante de esta matriz:

[matemáticas] ~~~~~ \ vec {u} \ times \ vec {v} = \ left | \ begin {matrix} \ texttt {i} & \ texttt {j} & \ texttt {k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \ \ v_1 y v_2 y v_3 \ end {matriz} \ right | [/ math]

O, de manera equivalente, los componentes están dados por estos determinantes:

[matemáticas] ~~~~~ \ vec {u} \ times \ vec {v} = \ left \ langle ~~ \ left | \ begin {matrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \ end {matrix} \ right | ~, ~ ~ \ left | \ begin {matrix} u_3 & u_1 \\ v_3 & v_1 \ end {matrix} \ right | ~, ~~ \ left | \ begin {matrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \ end {matrix} \ right | ~~ \ right \ rangle [/ math]

Ahora, para su problema, necesitamos encontrar la mitad de la magnitud de este producto cruzado. Dado que los componentes [math] z [/ math] de [math] \ vec {u} [/ math] y [math] \ vec {v} [/ math] en su pregunta son ambos cero, la mitad de la magnitud es simplemente la mitad del valor absoluto del componente [math] z [/ math] del producto cruzado:

[matemáticas] ~~~~~ \ dfrac {1} {2} ~ \ left | \ begin {matrix} ~ \\ ~~ \ left | \ begin {matrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \ end {matrix} \ right | ~~ \\ ~ \ end {matrix} \ right | [/ math]

Al conectar sus números, el área de su triángulo es

[matemáticas] ~~~~~ \ dfrac {1} {2} ~ \ left | \ begin {matrix} ~ \\ ~~ \ left | \ begin {matrix} 3 y 4 \\ – 5 y 7 \ end {matriz} \ right | ~~ \\ ~ \ end {matrix} \ right | [/ math]

que es [math] \ dfrac {41} {2} [/ math].

Cambio de pico (para triángulos)

Puede cambiar el pico de un triángulo perpendicular a su base, sin alterar su área. Por lo tanto:

[matemáticas] \ begin {align} A ((3,4), (- 5,7)) & = A ((3,4), (- 5,7) +2 \ times (3,4)) \ \ & = A ((3,4), (1,15)) \\ & = A ((3,4) -3 \ veces (1,15), (1,15)) \\ & = A ( (0, -41), (1,15)) \ end {align} [/ math]

Este es un triángulo con base [matemática] 41 [/ matemática] y altura [matemática] 1 [/ matemática], por lo que su área de superficie es igual a [matemática] 20.5 [/ matemática]

Fórmula de cordones (para todos los polígonos)

Para cualquier polígono [math] (x_n, y_n) [/ math], puede calcular el área [math] A [/ math] usando la fórmula Shoelace – Wikipedia:

[matemáticas] \ begin {align} \ mathbf {A} & = {1 \ over 2} \ Big | \ sum_ {i = 1} ^ {n-1} x_iy_ {i + 1} + x_ny_1 – \ sum_ {i = 1} ^ {n-1} x_ {i + 1} y_i – x_1y_n \ Big | \\ & = {1 \ over 2} | x_1y_2 + x_2y_3 + \ cdots + x_ {n-1} y_n + x_ny_1 – x_2y_1 – x_3y_2 – \ cdots – x_ny_ {n-1} – x_1y_n | \\ \ end {align} [/ math]

Que se basa en el determinante de dos vectores que abarcan un triángulo.

Entonces, con [math] (x_n, y_n) = \ {(0,0), (3,4), (- 5,7) \} [/ math] tenemos:

[matemáticas] \ begin {align} \ mathbf {A} & = \ frac {0 \ times 4 + 3 \ times 7 + -5 \ times 0 – (0 \ times 3 + 4 \ times -5 + 7 \ times 0 )} {0} \\ & = \ frac {41} {2} \ end {align} [/ math]

Ilustración gráfica de la fórmula, explicando su nombre.

* A2A

a = Gráficos [{Rosa, Triángulo [{{0, 0}, {3, 4}, {-5, 7}}]}];
p1 = Gráficos [{PointSize -> Large, Point [{{0, 0}}]}];
p2 = Gráficos [{PointSize -> Large, Point [{{3, 4}}]}];
p3 = Gráficos [{PointSize -> Large, Point [{{- 5, 7}}]}];
l1 = Gráficos [Texto [“(0,0)”, {0, 0}, {0, 2}]];
l2 = Gráficos [Texto [“(3,4)”, {3, 4}, {0, -2}]];
l3 = Gráficos [Texto [“(- 5,7)”, {-5, 7}, {1, 2.1}]];
Mostrar [a, p1, p2, p3, l1, l2, l3]

Tomamos la magnitud del producto cruzado para encontrar el área del paralelogramo. La mitad de eso es el área del triángulo que buscamos.

[matemáticas] \ begin {align} \ dfrac12 \ bigg | (3,4) \ times (-5,7) \ bigg | & = \ dfrac12 \ begin {vmatrix} 3 & 4 \\ – 5 & 7 \ end { vmatrix} \\ & = \ dfrac12 \ bigg [21 – (- 20) \ bigg] \\ & = \ dfrac {41} 2 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

3 [matemáticas] i + 4j \, \ y \, -5i + 7j [/ matemáticas]

Se puede ver como dos vectores de columna; [matemáticas] \ begin {bmatrix} 3 \\ 4 \\ \ end {bmatrix} y \ begin {bmatrix} -5 \\ 7 \\ \ end {bmatrix} [/ math]

Que se puede incrustar fácilmente en una matriz

A = [matemáticas] \ begin {bmatrix} \, \, 3 \, -5 \\ 4 \, \, \, \, \, \, \, \, 7 \\ \ end {bmatrix} [/ math]

Geométricamente, esta matriz está representada por esta imagen donde A1 y A2 son los vectores de columna primero y segundo de A respectivamente

El área del paralelogramo abarcado por los dos vectores de columna A1 y A2 (lo siento, la parte superior se cortó), viene dada por el determinante de la matriz A

[matemáticas] | A | = det (A) = 3 * 7 – (4) * (- 5) = 41 [/ matemáticas]

Ya que estás interesado en el triángulo; esto es simplemente [matemáticas] \ frac {| A |} {2} [/ matemáticas]

o [matemáticas] \ frac {41} {2} = 20.5 [/ matemáticas]

La forma general del determinante para [matemática] 2 × 2 [/ matemática] matriz A

A = [matemáticas] \ begin {bmatrix} a \, \, \, \, \, b \\ c \, \, \, \, \, d \\ \ end {bmatrix} [/ math]

Es dado por,

[matemáticas] (a) (d) – (c) (b) = | A | [/ matemáticas]

Hay una buena forma para el área con signo de un segmento, es decir, el área con signo del triángulo formado a partir de los dos extremos del segmento y el origen.

Llamemos a los puntos finales [matemática] (a, b) [/ matemática] y [matemática] (c, d) [/ matemática]. Imaginemos cuál será el caso del área positiva donde ambos están en el primer cuadrante [matemática] c b. [/ Matemática]

Entonces dentro del rectángulo delimitado por los ejes y [math] (a, d) [/ math] hay cuatro triángulos. Hay uno del que queremos el área y tres triángulos rectángulos: (1) lados [matemático] a [/ matemático] y [matemático] b [/ matemático] (2) lados [matemático] c [/ matemático] y [matemático ] d [/ math] y (3) lados [math] ac [/ math] y [math] db [/ math]. Entonces el área que queremos es

[matemática] \ def \ A {\ matemática {A}} \ A ((a, b), (c, d)) = ad – \ frac 1 2 (ab + cd + (ac) (db)) = \ frac 1 2 (ad – bc) [/ math]

Entonces, para el problema dado [matemáticas] a = 3, b = 4, c = -5, d = 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ A = \ frac 1 2 (3 (7) – 4 (-5)) = \ frac {41} {2} [/ matemáticas]

Lo bueno del área con signo de un segmento es que el área con signo de un polígono arbitrario es solo la suma de las áreas con signo de sus segmentos en orden, por lo que ahora tenemos una fórmula para el área de un polígono dadas las coordenadas de su vértices