Aunque parece más difícil considerar sus dos vectores en tres dimensiones, existe una técnica poderosa para encontrar el área de un paralelogramo formado por dos vectores que funciona solo en 3D: el producto cruzado. Esto es útil para su pregunta, porque su triángulo es exactamente la mitad del paralelogramo.
Entonces, en 3D, sus vectores son:
[matemáticas] ~~~~~ \ vec {u} = \ langle 3, 4, 0 \ rangle [/ math] y [math] \ vec {v} = \ langle -5, 7, 0 \ rangle [/ math ]
El área del paralelogramo formado por estos dos vectores es la magnitud del producto cruzado [math] \ vec {u} \ times \ vec {v} [/ math]. El área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo, por lo que la respuesta a su pregunta es
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[matemáticas] ~~~~~ \ dfrac {1} {2} ~ \ left | ~ \ langle 3, 4, 0 \ rangle \ times \ langle -5, 7, 0 \ rangle ~ \ right | [/ math]
¡Así que encontremos el producto cruzado! El producto cruzado se define como el determinante de esta matriz:
[matemáticas] ~~~~~ \ vec {u} \ times \ vec {v} = \ left | \ begin {matrix} \ texttt {i} & \ texttt {j} & \ texttt {k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \ \ v_1 y v_2 y v_3 \ end {matriz} \ right | [/ math]
O, de manera equivalente, los componentes están dados por estos determinantes:
[matemáticas] ~~~~~ \ vec {u} \ times \ vec {v} = \ left \ langle ~~ \ left | \ begin {matrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \ end {matrix} \ right | ~, ~ ~ \ left | \ begin {matrix} u_3 & u_1 \\ v_3 & v_1 \ end {matrix} \ right | ~, ~~ \ left | \ begin {matrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \ end {matrix} \ right | ~~ \ right \ rangle [/ math]
Ahora, para su problema, necesitamos encontrar la mitad de la magnitud de este producto cruzado. Dado que los componentes [math] z [/ math] de [math] \ vec {u} [/ math] y [math] \ vec {v} [/ math] en su pregunta son ambos cero, la mitad de la magnitud es simplemente la mitad del valor absoluto del componente [math] z [/ math] del producto cruzado:
[matemáticas] ~~~~~ \ dfrac {1} {2} ~ \ left | \ begin {matrix} ~ \\ ~~ \ left | \ begin {matrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \ end {matrix} \ right | ~~ \\ ~ \ end {matrix} \ right | [/ math]
Al conectar sus números, el área de su triángulo es
[matemáticas] ~~~~~ \ dfrac {1} {2} ~ \ left | \ begin {matrix} ~ \\ ~~ \ left | \ begin {matrix} 3 y 4 \\ – 5 y 7 \ end {matriz} \ right | ~~ \\ ~ \ end {matrix} \ right | [/ math]
que es [math] \ dfrac {41} {2} [/ math].