La matriz H es simétrica positiva definida. La matriz A = DH también es simétrica positiva definida. ¿Cuál debería ser la matriz D?

Answer 1

Como [matemática] A = DH [/ matemática], [matemática] D = AH ^ {- 1} [/ matemática]. Además, dado que [matemática] H [/ matemática] es simétrica positiva definida, también lo es su inversa. El hecho de que [matemática] H ^ {- 1} [/ matemática] es simétrica sigue usando la matriz adjunta para encontrar el inverso: la definición de la matriz adjunta obliga a que sea simétrica si la matriz original es simétrica. El hecho de que [math] H ^ {- 1} [/ math] es positivo definido sigue la observación de que los valores propios de [math] H [/ math] son ​​todos positivos (una condición necesaria y suficiente para que las matrices simétricas sean positivas) definido), por lo tanto, también lo son los valores propios de [math] H ^ {- 1} [/ math], que son simplemente los recíprocos de los de [math] H [/ math].

Entonces [math] D [/ math] es el producto de dos matrices simétricas positivas definidas. ¿Qué se puede inferir con esto? Desafortunadamente, no mucho, a menos que [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] H [/ matemáticas] conmuten. Si [matemática] AH \ ne HA [/ matemática], entonces [matemática] D [/ matemática] puede no ser ni simétrica ni positiva definida. (Por ejemplo, [matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \ end {pmatrix} [/ math] y [math] \ begin {pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \ end {pmatrix} [/ math] son ​​matrices definidas positivas simétricas, pero su producto no es ni simétrico ni definido positivo).

Por otro lado, si [matemática] AH = HA [/ matemática], entonces [matemática] AH ^ {- 1} [/ matemática] (y por lo tanto [matemática] D [/ matemática]) puede ser simétrica y positivo definido.

Answer 2

[matemáticas] D = H ^ {- 1} \ Lambda, \ Lambda \ equiv diag \ {\ lambda_1,…, \ lambda_N \}, \ lambda_i \ gt0. [/ math]

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