¿Existe un conjunto finito de matrices que están cerradas bajo la suma de matrices y la multiplicación de matrices?

Answer 1

Si el conjunto se cierra con la suma de la matriz, esto solo sucede para la matriz cero. Tome cualquier matriz distinta de cero [matemática] A [/ matemática] y agréguela a sí misma [matemática] n [/ matemática] veces, para cualquier número entero [matemática] n. [/ Matemática] Entonces, algún componente de esa matriz se parece a [matemática] ] na [/ math] para algún número distinto de cero [math] a. [/ math] Por lo tanto, cada [math] A + A + \ cdots + A [/ math] (donde sumamos [math] n [/ math] copias de [math] a [/ math]) proporciona una nueva matriz y el conjunto debe ser infinito.

Definitivamente hay conjuntos finitos de matrices que están cerradas bajo multiplicación. Considere la matriz [math] R [/ math] que rota los vectores en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] en un ángulo de [math] \ pi / 2. [/ Math] Entonces, [math] R ^ 2 [/ math] es la matriz que gira por [math] \ pi [/ math], y [math] R ^ 3 [/ math] es la matriz que gira por [math] 3 \ pi / 2 [/ matemática] y [matemática] R ^ 4 = I [/ matemática] ya que rota cada vector de regreso a donde comenzó. Por lo tanto, el conjunto [matemática] \ {R, R ^ 2, R ^ 3, I \} [/ matemática] se cierra bajo multiplicación. Hay muchos otros ejemplos.

Answer 2

Tomemos el conjunto de [math] n \ times n [/ math] matrices [math] M_n [/ math]. Si las entradas de las matrices en [math] M_n [/ math] se toman del campo finito [math] \ mathbb {Z} _m [/ math], solo hay finitamente muchas matrices en [math] M_n [/ math ] Dado que los campos finitos se cierran bajo la suma y la multiplicación (por definición de un campo), y la suma y multiplicación de matrices se definen en términos de las operaciones de suma y multiplicación pertenecientes al conjunto del que se toman las entradas, tal conjunto de matrices será cerrado bajo la suma de matrices y la multiplicación de matrices también.

Tenga en cuenta que cualquier campo finito de orden [math] m [/ math] es isomorfo al campo [math] (\ {0,1,2, \ ldots, m-1 \}, + \ bmod m, \ cdot \ bmod m) [/ math], donde [math] m [/ math] es un primo elevado a una potencia entera positiva.