¿Por qué P (x) aumenta sin límite?

Answer 1

Al identificar el comportamiento final, desea encontrar el término dominante de una expresión. En un polinomio, el término dominante es el término con la mayor potencia de x. Ese término y ese término solo decide cómo se comporta la función cuando x se acerca a valores negativos muy grandes (o infinito negativo en este caso). Entonces, si x disminuye sin límite, ¿aumenta [math] ax ^ 4 [/ math] o disminuye? (Supongo que [matemáticas] a [/ matemáticas] es un número real positivo). Bueno, aumenta a medida que x disminuye (porque un poder negativo a un par se vuelve positivo). Entonces, debido a que se vuelve cada vez más importante a medida que x crece en valor absoluto, decide dónde termina la expresión. Nunca deja de crecer, no tiene asíntota horizontal para detener su crecimiento. No hay límite que impida que [matemáticas] P (x) [/ matemáticas] crezca a medida que x aumenta a valores negativos muy grandes.

Answer 2

Es un polinomio con un grado máximo 4. No importa cuán pequeño sea a con respecto a 1 (el coeficiente de grado 3, y tenga en cuenta a> 0 debido a la condición en P cuando x aumenta), eventualmente, ese cuarto grado dominará, así que , en un abuso de notación

[matemáticas] P (x) = O (x ^ 4) [/ matemáticas]

(eso debería ser [matemáticas] P (x) \ en O (x ^ 4) [/ matemáticas])

Como el grado dominante es par, como [matemáticas] x \ rightarrow \ pm \ infty [/ math], [matemáticas] P (x) \ rightarrow \ infty [/ math] (grado par desde 4 es par, y desde el 4to El poder de cualquier cosa es siempre positivo).

¿Tiene sentido ahora?

Answer 3

Cuando x aumenta, el aumento en [matemática] x ^ 4 [/ matemática] y [matemática] x ^ 3 [/ matemática] es mucho mayor que la disminución en [matemática] – [/ matemática] [matemática] x ^ 2 [ / matemáticas] y [matemáticas] – [/ matemáticas] [matemáticas] x [/ matemáticas]. Por lo tanto, P (x) aumenta sin límite a medida que x aumenta sin límite, sin importar los coeficientes.

Cuando x disminuye, [matemática] x ^ 4 [/ matemática] y [matemática] -x [/ matemática] aumentan mientras que [matemática] x ^ 3 [/ matemática] y [matemática] – [/ matemática] x [matemática] ^ 2 [/ matemática] disminución. Sin embargo, el aumento en [matemáticas] x ^ 4 [/ matemáticas] es mucho mayor que la disminución en [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas] y – [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, P (x) aumenta sin límite incluso cuando x disminuye sin límite, sin importar los coeficientes.

Answer 4

Para lo suficientemente grande [matemática] x [/ matemática], el término [matemática] x ^ 4 [/ matemática] siempre dominará a los demás con grados más pequeños. Entonces, lo que suceda para muy positivo [matemática] x [/ matemática] también sucederá para muy negativo [matemática] x [/ matemática] como [matemática] x ^ 4 = (- x) ^ 4. [/ Matemática]