¿Podemos dividir un vector por un vector (3D)?

Answer 1

Bajo una interpretación adecuada de su problema, no existe una forma “razonable” de definir una noción de división entre vectores tridimensionales .

No entraré en detalles técnicos (ver los enlaces a continuación), pero hay una noción en álgebra abstracta llamada “álgebra de división”, que (para ser terriblemente reductora y algo incorrecta) es cualquier tipo de sistema de números (por ejemplo, los números reales o números complejos) para los cuales es posible la división entre dos elementos distintos de cero de ese sistema.

Entonces, reinterpretemos su pregunta: “¿Hay alguna forma” razonable “posible de definir una noción de multiplicación y división en un espacio tridimensional o, en su defecto, un espacio euclidiano de cualquier dimensión?”

Según el teorema de Hurwitz, hay una respuesta completa: esto solo se puede hacer para los números reales, números complejos, cuartones (espacio de cuatro dimensiones, aunque la multiplicación aquí no es conmutativa, es decir, ab = / = ba) y octoniones (ocho dimensiones espacio, aunque la noción correspondiente de multiplicación no es conmutativa ni asociativa, es decir, a (bc) = / = (ab) c).

Answer 2

¡Esta pregunta es un verdadero ejercicio matemático en las clases de francés préparatoires!

Lo primero que necesita para resolver este tipo de cosas es un operador interno que actúa como un producto. Entonces, ¿por qué no probar el producto cruzado?

Dado [math] U [/ math] y [math] V, [/ math] dos vectores de [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] puedes intentar resolver la ecuación:

[matemática] X \ veces U = V [/ matemática] donde [matemática] X [/ matemática] es el vector desconocido.

¡Y eso es realmente una cosa! La función [math] \ Phi: X \ longmapsto X \ times U [/ math] es lineal. Es un endomorfismo de [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] y su núcleo unidimensional (ya que es [math] \ mathbb {R} U [/ math]).

Dado que el núcleo no es cero, la función [matemática] \ Phi [/ matemática] no es inyectiva ni surjectiva (dimensión finita). Entonces el problema no siempre tendrá una solución.

Pero bueno … eso es probablemente lo más cerca que estarás de la “división vectorial”.

No lo he pensado más, pero puede ser más complicado responder su pregunta en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] ya que el producto cruzado no es interno.

Answer 3

Para hacerlo, tendría que definir qué se entendería por dicho cociente de vectores. No conozco tal definición. Puede pensar en inventar el suyo si puede pensar en uno útil. Lo más obvio que podría pensar es la solución de [matemáticas] X \ veces B = A [/ matemáticas], donde [matemáticas] X [/ matemáticas] es el cociente [matemáticas] A [/ matemáticas] [ matemáticas] / B [/ matemáticas]. Pero eso no es único y hay una asimetría insatisfactoria aquí ya que el producto cruzado no conmuta.