¿Por qué el producto escalar de dos vectores es un número escalar?

Answer 1

El producto punto [math] \ mathbf v \ cdot \ mathbf w [/ math] de dos vectores también se llama producto interno, y antes de eso se llamaba producto escalar. Para los vectores en [math] \ mathbf R ^ 3 [/ math] también hay un producto cruzado [math] \ mathbf v \ times \ mathbf w [/ math] que originalmente se llamaba un producto vectorial.

Ambos productos se derivaron de los cuaterniones de Hamilton. Un cuaternión es una expresión como [matemática] 5 + 2i-7j + 3k [/ matemática] donde [matemática] i, j, [/ matemática] y [matemática] k [/ matemática] son ​​símbolos que satisfacen las siguientes propiedades

[matemáticas] \ qquad i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 = -1, ij = k, ji = -k, jk = i, kj = -i, ki = j, ik = -j [/ matemáticas] .

La parte del cuaternión puro de [math] 5 + 2i-7j + 3k [/ math], a saber, [math] 2i-7j + 3k [/ math] es un vector, mientras que la parte real [math] 5 [/ math] Es un escalar.

Si multiplica dos vectores juntos, [math] \ mathbf v = v_1i + v_2j + v_3k [/ math] y [math] \ mathbf w = w_1i + w_2j + w_3k [/ math], obtendrá [math] \ mathbf v \, \ mathbf w = – (\ mathbf v \ cdot \ mathbf w) + (\ mathbf v \ times \ mathbf w) [/ math]. La parte escalar del producto es la negación del producto de puntos, y la parte del vector del producto es el producto cruzado.

El producto punto se generaliza a vectores de dimensión distinta de 3, pero el producto cruzado está restringido a la dimensión 3.

El producto punto de dos vectores es un escalar porque era la parte del producto cuaternión que era un escalar. El producto cruzado de dos 3 vectores es un vector porque era la parte del producto cuaternión que era un vector.

Answer 2

Para ampliar la respuesta de Buddha Bucks.
Puede definir la multiplicación de vectores que resulta en un vector muy bien si está trabajando con 2 dimensiones. Esto está dado por los números complejos. Si los imagina como vectores, la multiplicación se ve así
[matemáticas] (a, b) \ veces (x, y) = (ax-by, ay + bx) [/ matemáticas]
En general, cualquier tipo de multiplicación vectorial que resulte en un vector crea lo que se llama álgebra, y es importante para algunas áreas de las matemáticas. Usualmente no requerimos que tenga todas las propiedades agradables (por ejemplo, conmutativas), pero los números complejos son particularmente agradables.
El producto dot tiene una generalización completamente diferente. Se llama un producto interno, y su utilidad proviene más de sus propiedades que de una interpretación geométrica. Resulta que cualquier espacio vectorial con un producto interno tiene operadores de proyección, una base ortonormal, una norma (tamaño de cada vector) y una métrica (distancia entre vectores), etc. La moraleja de la historia es que los productos internos (es decir: punto productos) son realmente agradables tal como son.

Answer 3

En general, para un producto de dos vectores, desea las siguientes propiedades:

• El producto es bilineal, lo que significa que

• [matemáticas] \ vec {a} \ cdot (b \ vec {b} + c \ vec {c}) = b (\ vec {a} \ cdot \ vec {b}) + c (\ vec {a} \ cdot \ vec {b}) [/ math]
• [matemáticas] (a \ vec {a} + b \ vec {b}) \ cdot \ vec {c} = a (\ vec {a} \ cdot \ vec {c}) + b (\ vec {b} \ cdot \ vec {c}) [/ math]

El producto está cerrado, lo que significa que [math] \ vec {a} \ cdot \ vec {b} [/ math] es un vector.

El producto es asociativo, lo que significa que [matemáticas] \ vec {a} \ cdot (\ vec {b} \ cdot \ vec {c}) = (\ vec {a} \ cdot \ vec {b}) \ cdot \ vec {c} [/ matemáticas]

El producto es conmutativo, lo que significa que [matemáticas] \ vec {a} \ cdot \ vec {b} = \ vec {b} \ cdot \ vec {a} [/ matemáticas]

Resulta que, en general, no puedes hacer eso. No existe una buena definición de un producto de vectores que tenga todas esas propiedades.

Sin embargo, lo que sí resulta posible es si renuncias a estar cerrado (y, por lo tanto, es asociativo), y permites que los productos se definan de modo que sean bilineales y conmutativos, pero que no den como resultado un vector. El producto punto es uno de esos productos.

Usted podría estar pensando “¿qué pasa con el producto cruzado? Es un producto que da vectores ”. Desafortunadamente, el producto cruzado tiene algunos problemas: no es conmutativo (de hecho es anti-conmutativo , [matemática] \ vec {a} \ times \ vec {b} = – \ vec {b} \ times \ vec {a} [/ math]), no es general (un producto cruzado solo se puede definir en 3 o 7 dimensiones, y no entiendo la versión de 7 dimensiones; esto significa que no es útil cuando se trabaja en un plano, o en relatividad especial, etc.), y se comporta mal con transformaciones de coordenadas que invierten la paridad (dejando que algunos se refieran a los resultados del producto cruzado como “pseudovectores”, no vectores).

El producto punto, que devuelve un escalar, tiene algunas propiedades útiles. En primer lugar, el producto escalar de un vector consigo mismo, [math] \ vec {a} \ cdot \ vec {a} [/ math], es igual al cuadrado de la magnitud del vector. En segundo lugar, el producto escalar de un vector y un vector unitario da la magnitud del vector en la dirección del vector unitario. En otras palabras, si [math] \ vec {a} = a_i \ hat i + a_j \ hat j [/ math] para alguna base ortonormal [math] \ hat i, \ hat j [/ math], entonces [math] \ vec {a} \ cdot \ hat i = a_i [/ ​​math]. Esto es increíblemente útil para hacer transformaciones básicas.

Answer 4

Bueno, uno podría decir porque se define de esa manera.

El producto punto tiene la interpretación geométrica como la longitud de la proyección de A sobre el vector unitario B cuando los dos vectores se colocan de modo que sus colas coincidan.

O, en otras palabras, si se considera que B es el vector unitario, el producto punto es la longitud de la proyección de A ([matemática] || A || cos (\ theta) [/ matemática]) sobre B ([matemática] | | B || [/ matemáticas])

Por lo tanto, [matemáticas] A \ cdot B = || A || || B || cos (\ theta) [/ math]

–

Algebraicamente, el producto punto es la suma de los productos de los elementos de los vectores A = (A_1, A_2, … A_n) y B = (B_1, B_2, … B_n) como:

[matemáticas] A \ cdot B = (A_1B_1 + A_2B_2 +… + A_nB_n) [/ matemáticas]

–

En física representa una cantidad que surge de cantidades vectoriales, pero es de naturaleza escalar, por lo tanto, es independiente de las coordenadas. Por ejemplo, el trabajo (escalar) realizado por una fuerza (vector).

Answer 5

Esto se debe a que el producto punto es un producto interno de dos vectores en un espacio vectorial (V, +,.) Un producto interno por definición es un mapeo que toma como entrada, dos elementos de V y lo asigna a un elemento de campo, un escalar.

En el caso de los productos internos, el conjunto V en el espacio vectorial suele ser R2 o R3 en cursos de división inferior, y el campo es R.

http://mathworld.wolfram.com/Inn …

Answer 6

Además de la excelente respuesta de David Joyce, aquí hay otra forma de analizarlo. Imagine que todos los vectores están anclados en el punto de origen. Entonces la punta de los vectores apunta a … bueno, puntos.

Ahora, los productos de puntos simplemente te dan la distancia entre estos puntos. ¿Sorpresa?

Esto se llama similitud de coseno – Wikipedia. Ahora, a menos que llores mal, esa distancia debería ser un vector … se queda … escalar.

Por lo tanto, haciendo producto de punto, un escalar.

Answer 7

La respuesta es que no tiene que ser así.

Para los matemáticos, un “producto” generalmente significa una operación binaria, es decir, un dispositivo que toma dos objetos y devuelve otro. Entonces, la multiplicación de números reales es un producto. También lo es el producto interno: toma dos vectores y genera un número.

Muchos (literalmente infinitos) otros productos se pueden definir con vectores. Aquí hay uno: los vectores dados [matemática] (a, b), (c, d) [/ matemática] luego [matemática] f ((a, b), (c, d)) = [/ matemática] pescado. Dados dos vectores, este producto produce peces. También podemos definir productos que generan un tercer vector, como el producto cruzado.

La razón por la que ha encontrado ese producto en particular es que tiene muchas aplicaciones en matemáticas y en otros lugares, por lo que generalmente se le da un poco más de tiempo que mi producto de pescado.

Answer 8

Cuando tomamos el producto Dot de dos vectores, hacemos la unidimensional resultante.

como en AB, resolvemos el vector A en dirección de B o viceversa como [correo electrónico protegido] o [correo electrónico protegido] respectivamente. donde (@) es el ángulo entre los vectores A y B.

para que el producto se convierta en | A || B | [correo electrónico protegido] es una cantidad unidireccional.

mientras que en la cantidad en vector la resultante tiene una dirección única que es perpendicular al plano de los vectores AB. así que no es unidireccional tampoco A * B no es igual a B * A ya que en ambos casos la dirección se invierte. Si bien no hay nada de estos casos en el producto de puntos … siempre es unidireccional …

Answer 9

Lea esto → ¿Por qué el producto escalar de dos vectores es un número escalar?

O bien → Discuta con el Tutor de Física gratis aquí → Tutor de Física en línea: la mejor enseñanza de física, servicio de tutoría | TutorEye

Answer 10

Permítame corregirle que el producto escalar de dos vectores es un escalar. Ahora esto es así porque es la necesidad de la física. Por ejemplo, el trabajo realizado es un producto escalar de desplazamiento y fuerza. Ahora imagine a alguien diciendo que ha realizado 10 julios de trabajo en dirección noreste con respecto a algún marco de referencia. Ahora, ¿eso tiene algún sentido en física? Por eso se toma como escalar.