¿Cómo describirías el campo de álgebras de operadores y por qué lo encuentras interesante?

Answer 1

Esto puede ser simplista, pero para mí, “álgebras de operadores” abarca el estudio de dos objetos: álgebras C * y álgebras de von Neumann. En cada caso, hay un buen teorema que caracteriza completamente las versiones conmutativas de cada objeto, y esos teoremas son la razón por la que originalmente me interesé en el área. (Por supuesto, también ayuda que mi profesor fuera un gran profesor e hizo mucho para avivar mi curiosidad).

Olvídate de las álgebras de operadores por un momento. Supongamos que tiene un buen espacio topológico, llámelo [matemáticas] X [/ matemáticas]. (“Agradable” significa localmente compacto Hausdorff, si conoce esas palabras. Si no, no se preocupe por eso.) Puede hacer todo tipo de preguntas topológicas sobre [matemáticas] X [/ matemáticas]. En algún momento, puede resultarle útil estudiar funciones continuas en [matemáticas] X [/ matemáticas], digamos las de valor complejo. Llame al conjunto de funciones de valores complejos [matemática] C (X) [/ matemática].

El conjunto [matemática] C (X) [/ matemática] obviamente tiene alguna estructura algebraica … puedes agregar y multiplicar funciones complejas continuas, puedes tomar conjugados complejos, etc. Heredas mucha estructura algebraica de los números complejos mismos. Sin molestarse en definir cuidadosamente qué es un álgebra C *, resulta que cada vez que [math] X [/ math] es bueno, [math] C (X) [/ math] es un álgebra C *. Además, es un álgebra C * conmutativa, porque hereda la conmutatividad de los números complejos.

Todo esto es muy poco sorprendente … lindando con lo trivial, de hecho. Lo más sorprendente y altamente no trivial es que funciona a la inversa: si tiene un álgebra conmutativa C * abstracta, entonces siempre puede representarlo como [matemáticas] C (X) [/ matemáticas] para un buen espacio topológico [matemáticas] X [/ matemáticas].

Motivado por esa correspondencia, uno puede pensar en el estudio de álgebras C * no conmutativas como una especie de “topología no conmutativa”. Tengo que confesar, cuando vi por primera vez la frase “topología no conmutativa”, tuve una especie de reacción violenta contra ella. . Pensé que a quien se le ocurrió esa frase no sabía lo que al menos una de esas palabras significaba. Pero ahora está claro. 🙂

La misma historia sucede con las álgebras de von Neumann, excepto en lugar de espacios topológicos, con espacios de medida.

Uno puede continuar y definir otras cosas “no conmutativas” … probabilidad no conmutativa, geometría no conmutativa, etc. Una de las primeras cosas que me atrajeron a las álgebras de operadores fue esta capacidad de generar teorías no conmutativas de áreas clásicas. Parecía (y aún parece) una filosofía tan profunda.

Answer 2

A un nivel muy alto, diría que extiende los conceptos de Álgebra Lineal a espacios vectoriales de dimensiones infinitas (p. Ej., Espacios de funciones, no su habitual, finito-dimensional [matemática] (a, b, c) [/ matemática] -como vectores de álgebra lineal).

Donde normalmente usaría una matriz en álgebra lineal, usa un operador en análisis funcional. Si el operador es lineal, entonces le interesará el álgebra de operadores.

Un ejemplo clave de por qué es interesante:

Los operadores lineales son fundamentales para la mecánica cuántica: la posición, el momento, la energía y otras cantidades de la física clásica (representados como números reales) se expresan como operadores que actúan sobre la función de onda (por lo que obtienes otra función … no un número),

Otro es darse cuenta de que los términos complicados en una serie de Fourier son realmente solo la proyección de la función f sobre una base ortogonal de funciones trigonométricas (es decir, aquellas cuyo producto interno se integra a 0).

Al darse cuenta de que todos esos términos de Fourier tienen sentido.