Si [matemática] \ det (ADA ^ T) = \ det (D) [/ matemática], donde A es una matriz m * n (m <n) y D es una matriz diagonal, ¿qué tipo de condición es que la matriz A debe estar satisfecho?

Answer 1

Cualquier m por n, m <n matriz A se puede expresar como A = USV ', UU' = I, VV '= I, donde S es una matriz diagonal de tamaño m por m, con entradas positivas. U es m por m, V es n por m.

Así podemos expresar la restricción original como

[matemática] Det (SV’DVS) = Det (V’DV) det (S ^ 2) = Det (D). [/ matemática]

Supongamos que S = I. Para esta clase de A:

[matemática] Det (V’DV) = Det (D). [/ matemática]

Claramente, si mn entradas de D son la unidad V puede estar compuesta por un conjunto arbitrario de vectores ortonormales.

Más allá de eso, no tengo conocimiento de una mayor simplificación de la caracterización de A.

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Añadido sept 1,17

Incruste D en una matriz diagonal n por n más grande agregando nm agregando entradas de unidad a la diagonal más grande. Llame a esta nueva matriz E. Ahora A es cuadrada. Forme la SVD y observe que la V es arbitraria. Además tenemos:

[matemática] Det (S) ^ 2 det (E) = det (D) \ Pi s_ {i, i} = det (D) [/ math]

Concluimos que U es libre y que la media geométrica de los valores singulares es la unidad

Answer 2

Primeros pensamientos: A es mxn, D es nxn, At es nxm, entonces ADAt es mxm, que es más pequeño que nx n. El rango de cualquiera es como máximo m, por lo que det (D) = 0.

No estoy seguro de cuáles son las condiciones de su pregunta. ¿Se pregunta qué propiedades debe tener A para que la ecuación sea verdadera para cualquier diagonal D? No funcionará para D arbitraria, D debe tener un cero en su diagonal.

Answer 3

Suponga que [math] Z \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n} [/ math]

y [matemáticas] Z = Z ^ {T} [/ matemáticas]

ahora [matemáticas] Z = Q \ Lambda Q ^ {T} [/ matemáticas]

Ahora [math] \ Lambda [/ math] es una matriz diagonal y [math] Q [/ math] es una matriz ortogonal

ahora con bastante claridad estas son las matrices rotacionales de los vectores propios

dijiste [matemáticas] A \ in \ mathbb {R} ^ {m \ veces n} [/ matemáticas]

entonces el rango de la matriz es como máximo my la matriz tiene como máximo m valores propios

entonces determinante es [math] det (Z) = \ prod_ {i = 1} ^ {N _ {\ lambda}} \ lambda_ {i} ^ {n_ {i}} [/ math]

producto correcto de una matriz son valores propios del producto

derecha reduciendo la dimensión ya que los valores propios son cero.

ahora [matemáticas] Z = ADA ^ {T} [/ matemáticas]

ahora si [math] Z [/ math] es una matriz cuadrada, entonces los autovalores son iguales a los autovalores de su transposición ya que comparten la misma ecuación característica.

entonces hay una factorización [matemáticas] \ begin {bmatrix} Z_ {1} & Z_ {2} \ end {bmatrix} D \ begin {bmatrix} Z_ {1} & Z_ {2} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ lambda I _ {\ lambda} & A_ {12} \\ 0 & A_ {22} \ end {bmatrix} [/ math]

ahora esta es la descomposición de Schur. entonces los bloques [matemática] A_ {12} [/ matemática], [matemática] A_ {22} [/ matemática] son ​​partes de los operadores [matemática] Z_ {1} Z_ {2} [/ matemática] que son ortogonales.

entonces hay un mapa de la matriz triangular superior en la descomposición de schur [1] y aquí la prueba constructiva de una matriz diagonal.

Claramente, el determinante es 0.

Notas al pie

[1] Descomposición de Schur – Wikipedia