¿Qué es [matemáticas] \ begin {vmatrix} \ binom {0} {0} & \ binom {1} {0} & \ cdots & \ binom {n} {0} \\ \ binom {1} {0} & \ binom {1} {1} & \ cdots & \ binom {n} {1} \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ \ binom {n} {0} & \ binom {n} { 1} & \ cdots & \ binom {n} {n} \ end {vmatrix} [/ math] igual a?

Answer 1

Considere esta respuesta como una actualización de esta pregunta.

No he podido producir una expresión cerrada en [math] n [/ math] para este determinante. Sin embargo, noté una relación ligeramente interesante con la matriz de Pascal.

La matriz de Pascal [matemáticas] P [/ matemáticas] es la matriz triangular inferior (o superior, no hay consenso) cuyas entradas en y debajo de la diagonal principal son las entradas del triángulo de Pascal. (Si elige triangular superior, entonces simplemente transponga esta matriz). Claramente [math] P [/ math] tiene determinante [math] 1 [/ math], siendo una matriz triangular cuyas entradas diagonales son todas.

El determinante en cuestión es el de [math] P + P ^ TI [/ math], donde [math] I [/ math] es la matriz de identidad del mismo tamaño que [math] P [/ math]. Tenga en cuenta que, aunque [matemática] P [/ matemática], [matemática] P ^ T [/ matemática] y [matemática] I [/ matemática] tienen determinante [matemática] 1 [/ matemática], el determinante de [matemática ] P + P ^ TI [/ math] es bastante caótico. A continuación se muestran los valores de este determinante cuando el tamaño de la matriz es [matemática] n = 1,2,3,4, \ ldots [/ matemática]:

1, 0, -1, 8, -71, 656, -4816, 1920, 168784, 43920880, -3315147449, 209095006856, -19,095,123,359,744, 1814464114046976, 320005209305667584, -253215321875947192320, -3298397219599339984896, 24417272707694829159671808, 265094852554176756050442657024, -93172355068298709526465601807244, …

En todo caso, este es un ejemplo realmente extremo de cómo, en general, [matemáticas] \ det (A + B) \ ne \ det (A) + \ det (B) [/ matemáticas].

En los comentarios, la gente decía que esta secuencia de determinantes debería estar en OEIS. Bueno, ahora lo es: es la secuencia A292865. Lo agregué la semana pasada y lo aprobé hoy. Esta podría ser la primera vez en la historia de Quora que una pregunta de Quora ayudó a agregar una nueva secuencia en OEIS.

Answer 2

Tengo que adivinar su fórmula, pero parece que quiere que la entrada (j, k) sea un coeficiente binomial “p elegir q” con el máximo de (j, k) -1 como p, y el mínimo (j, k) -1 como q.

Le pedí a Mathematica que calcule los primeros ejemplos y obtuve esta pequeña tabla para el caso 5 por 5:

{{1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 2, 3, 4}, {1, 2, 1, 3, 6}, {1, 3, 3, 1, 4}, { 1, 4, 6, 4, 1}}

y tomando determinantes, como n varió de 1 a 10, obtuve

{1, 0, -1, 8, -71, 656, -4816, 1920, 168784, 43920880}. No veo ningún patrón en particular, excepto que los números aumentan y algunos de ellos son positivos, mientras que otros son negativos.

Answer 3

Sabemos que [matemáticas] \ binom {n} {0} = \ binom {n} {n} = 1 \ text {y} \ binom {n} {1} = \ binom {n} {n-1} = n [/ math] para todos los enteros positivos n.

Por lo tanto,

[matemáticas] \ begin {vmatrix} \ binom {0} {0} & \ binom {1} {0} & \ cdots & \ binom {n} {0} \\ \ binom {1} {0} & \ binom {1} {1} & \ cdots & \ binom {n} {1} \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ \ binom {n} {0} & \ binom {n} {1} & \ cdots & \ binom {n} {n} \ end {vmatrix} = \ begin {vmatrix} 1 & 1 & \ cdots & 1 \\ 1 & 1 & \ cdots & n \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 1 & n & \ cdots & 1 \ end {vmatrix} [/ math]

Ahora tienes la idea 🙂

PD

Sugerencia: necesita encontrar [math] \ binom {n} {k} [/ math] donde [math] k [/ math] es un entero positivo y [math] 0

De hecho, [math] \ binom {n} {2} [/ math] son ​​números triangulares y [math] \ binom {n} {3} [/ math] son ​​números tetraédricos.

Answer 4

Utilice la siguiente identidad: [matemáticas] \ left (\ begin {array} {c} n \\ k \ end {array} \ right) – \ left (\ begin {array} {c} n-1 \\ k \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {c} n-1 \\ k-1 \ end {array} \ right) [/ math]

Recuerde también que [matemática] \ left (\ begin {array} {c} n \\ 0 \ end {array} \ right) = 1 [/ math]

Ahora intenta restar filas.

Answer 5

Hubiera sido más interesante si lo hiciera [math] \ binom {m + n} {i} [/ math], donde i es la fila (o columna), m es el número de filas yn es el número de columnas . De esa manera, la entrada (i, j) de su matriz le indicará el número de posibles rutas de red a la coordenada (i, j) desde el origen, dado que no se permiten movimientos hacia atrás. Puedes imaginar fácilmente cómo esto se extendería a espacios dimensionales superiores.

Consulte el siguiente enlace para obtener más detalles: Ruta de celosía – Wikipedia

Answer 6

No estoy seguro, pero si V ^ 2 es el cuerpo de un vector V ^ 2 * n, ¿no debería definir primero la operación entre los elementos?

Por ejemplo, en los determinantes utilizados habitualmente, la multiplicación entre elementos del cuerpo R se define como todos sabemos. por ejemplo 5 * 5 = 25

Cuando tenemos como elementos esos vectores, ¿no deberíamos definir una operación que nos dé un elemento de V ^ 2?

Answer 7

Usando la secuencia de Doug Hensley, le pedí a The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®) algún golpe y no obtuve ningún resultado. Por lo tanto, la secuencia de Doug al menos no es muy conocida, pero OEIS es un sitio realmente genial que me ha ayudado a encontrar respuestas varias veces.

Answer 8

No sé si ayuda, pero numéricamente parece que al menos hasta n = 100 el valor absoluto crece aproximadamente como [matemática] \ exp [n ^ 2/5] [/ matemática]