En realidad, esta es una pregunta más interesante de lo que piensas, y la respuesta desafortunada es que, esencialmente, no lo haces.
En la mayoría de las introducciones a los vectores, se aprende que son “flechas” que tienen una magnitud y una dirección. Aprende que los vectores no tienen una ubicación particular, por lo que si desea encontrar [matemáticas] \ vec A + \ vec B [/ matemáticas], simplemente mueva la cola de [matemáticas] \ vec B [/ matemáticas] a la punta de [math] \ vec A [/ math], bla, bla, bla.
Luego aprende que generalmente es más conveniente expresar los vectores en términos de sus componentes a lo largo de ciertos vectores básicos:
[matemáticas] \ vec A = A_x \ hat e_x + A_y \ hat e_y [/ math]
- ¿Cuál es el cambio en la magnitud del vector cuando se gira en el ángulo theta?
- ¿El pseudo-inverso minimiza el problema de mínimos cuadrados?
- ¿Cuáles son las aplicaciones de las matrices?
- ¿Hay componentes del vector que no sean componentes rectangulares?
- ¿Es posible dividir dos vectores?
(Me gusta usar [math] \ hat e_x [/ math] para denotar el vector unitario en la dirección [math] x [/ math])
Cuando haces eso, solo puedes agregar los vectores en cuanto a componentes:
[matemáticas] \ vec A + \ vec B = (A_x + B_x) \ hat e_x + (A_y + B_y) \ hat e_y [/ math]
Hasta ahora todo está bien. Pero ahora, hablamos de coordenadas polares, y todo se vuelve extraño.
El aspecto simplificador crucial de las coordenadas rectangulares es que los vectores base son constantes. ¿Recuerdas cuando movimos la cola de [math] \ vec B [/ math] a la punta de [math] \ vec A [/ math]? Bueno, la razón por la que se nos permitió hacer eso es porque la expresión componente de [math] \ vec B [/ math] ([math] \ vec B = B_x \ hat e_x + B_y \ hat e_y [/ math]) es el igual sin importar dónde se encuentre [math] \ vec B [/ math]. Por otro lado, si nos movemos a coordenadas polares y usamos esos vectores unitarios, encontramos que la dirección en la que [math] \ hat e_r [/ math] y [math] \ hat e_ \ theta [/ math] realmente apuntan depende de dónde se encuentre el vector.
En la siguiente imagen, he bosquejado los vectores de unidad radial y angular en dos puntos diferentes en una cuadrícula de coordenadas polares:
Esto es un problema. Sé cómo agregar flechas juntas: puedo mover la punta a la cola, como antes. Sin embargo, a medida que muevo el vector alrededor de la cuadrícula, los vectores unitarios cambiarán de dirección y, por lo tanto, las coordenadas cambiarán. ¿Ves cómo esto es diferente del caso de las coordenadas rectangulares?
Lo que tenemos que hacer es primero, transportar uno de los vectores a la ubicación del otro, y solo entonces podemos agregarlos por componentes. Pero, ¿cómo descubrimos qué sucede con los componentes durante el proceso de movimiento?
Este es el dominio de la geometría diferencial (ver transporte paralelo), y en general es una pregunta extremadamente complicada. Pero para casos simples como los que está tratando, hay una alternativa maravillosamente simple: convertir a vectores rectangulares, que no cambian en absoluto durante el proceso de transporte. A partir de ahí, puede realizar el transporte (que ha estado haciendo tácitamente todo el tiempo), agregarlos por componentes y luego volver a expresar el resultado en términos de coordenadas polares si lo desea.
De hecho, he descuidado un tanto la mayor complicación de todas: los vectores a menudo se representan como ubicados en el origen, pero los vectores de unidad radial y angular [math] \ hat e_r [/ math] y [math] \ hat e_ \ theta [/ math] ni siquiera se definen en el origen … pero esa es una pregunta completamente diferente.